二次函数初中数学中考题汇总1

三、解答题：（共x分）（2011•岳阳市）26．(本题满分l0分)九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一应用——探究的过程：(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量，测得一隧道的路面宽为10m．隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图．建立了如图②所示的直角坐标系．请你求出抛物线的解析式．(2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全．问该隧道能否让最宽3m．最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)?(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型塑．提出了以下两个问题，请予解答：Ⅰ．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上．顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值。Ⅱ．如图④，过原点作一条yx的直线OM，交抛物线于点M．交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q。问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．26、（1）y=－14x2＋52x（2）当x=2或x=8时（3）（Ⅰ）AB=2x-10BC=y=－14x2＋52xl=－12x2＋9x－20=－12（x－9）2＋412（Ⅱ）存在，这样的点有四个∵P点在直线y=x上，设P（x,x），Q（x,－14x2＋52x）（A）当∠P1Q1N=90°时，Q点在OM的上方时，P1Q1=NQ1，P1Q1=－14x2＋52x－x，NQ1=5-xQ点在OM的下方时，P2Q2=NQ2，P2Q2=x－（－14x2＋52x），NQ1=x–5∴14x2－52x＋5=0∴P1（5＋5，5＋5）、P2（5－5，5－5）（B）当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K⊥对称轴当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形Q点在OM的上方时，P3Q3=2Q3K1，P3Q3=－14x2＋52x－x，Q3K1=5-xQ点在OM的下方时，P4Q4=2Q4K2，P4Q4=x－（－14x2＋52x），Q4K2=x–5∴14x2－72x＋10=0∴P3（4，4）、P4（10，10）26．（2011·钦州）（本题满分12分）．1056.25yxO1056.25yxODCBAQNM1056.25PyxOBxyO(第26题图)CAD在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为（1，92）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵抛物线的顶点为（1，92）∴设抛物线的函数关系式为y＝a(x－1)2＋92………………2分∵抛物线与y轴交于点C(0，4)，∴a(0－1)2＋92＝4解得a＝－12∴所求抛物线的函数关系式为y＝－12(x－1)2＋92………………4分（2）解：P1(1，17)，P2(1，－17)，P3(1，8)，P4(1，178)，………………8分（3）解：令－12(x－1)2＋92＝0，解得x1＝－2，x1＝4∴抛物线y＝－12(x－1)2＋92与x轴的交点为A(－2，0)C(4，0)………………9分过点F作FM⊥OB于点M，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴MFOC＝EBAB又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝EBAB×OC＝23EB设E点坐标为(x，0)，则EB＝4－x，MF＝23(4－x)…………10∴S＝S△BCE－S△BEF＝12EB·OC－12EB·MF＝12EB(OC－MF)＝12(4－x)[4－23(4－x)]＝－13x2＋23x＋83＝－13(x－1)2＋3∵a＝－13＜0，∴S有最大值当x＝1时，S最大值＝3此时点E的坐标为(1，0)…………12分（2011•徐州）28.（本题12分）如图，已知二次函数2yxbxc的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（12，）。（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出嗲你P的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由。xyOABCP28．解：（1）抛物线的顶点坐标公式可知：－b2a=1,a=1,所以得b=－2;4ac－b24a=－2,a=1,b=－2,求得c=－1；所以，此抛物线的解析式为y=x2－2x－1或者：因为y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，－2），所以y=(x－1)2－2,即y=x2－2x－1.(2)由于点A、点B是关于对称轴对称的两个点，点C是对称轴上的点，所以，AC=BC。又，点D是点C关于x轴的对称点，所以，AD=BD=AC=BC，因此，四边形ACBD是菱形，直线PE把四边形ACBD分成两个面积相等的四边形，所以PE经过四边形ACBD的对称中心即（1，0），所以设PE所在的直线解析式为：y=kx－1将(1，0）代入直线PE的解析式解得：得k=1所以，PE所在直线的解析式为：y=x－1设E（x,x－1）,代入y=x2－2x－1，得x－1=x2－2x－1,解得：x1=0,x2=3,根据题意得，E（3，2）（3）假设存在这样的点F，可设F（x，x2－2x－1），过点F作FG⊥y轴，垂足为点G，在Rt△POM和Rt△FGP中，因为∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，所以，∠OMP=∠FPG，又，∠POM=∠PGF，所以，△POM∽△FGP，所以，OMOP=GPGF.又，OM=1，OP=1，所以，GP=GF，即－1－（x2－2x－1）=x,解得x1=0,x2=1,根据题意得，F（1，－2）。以上各步均可逆，故点F（1，－2）即为所求。S△PEF=S△MFP+S△MFE=12×2×1+12×2×2=3.23、（2011•黑河）已知：二次函数y=错误!未找到引用源。x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣错误!未找到引用源。）．（1）求此二次函数的解析式．65432112345108642246810EDPBACO(F)（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣错误!未找到引用源。．解答：解：（1）由已知条件得错误!未找到引用源。，（2分）解得b=﹣错误!未找到引用源。，c=﹣错误!未找到引用源。，∴此二次函数的解析式为y=错误!未找到引用源。x2﹣错误!未找到引用源。x﹣错误!未找到引用源。；（1分）（2）∵错误!未找到引用源。x2﹣错误!未找到引用源。x﹣错误!未找到引用源。=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分）∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分）∴△EBC的面积=错误!未找到引用源。×4×3=6．（1分）（2011•乌兰察布市）24.(本题16分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)，把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点。(1）求m的值；(2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；(3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的32?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．24.解：（1）设之比例函数为1ykx，反比例函数为kyx，把A(3,3)代入，得133k，∴11k，∴正比例函数为yx33k，∴9k，∴反比例函数为9yx，∵B(6,m)在反比例函数上，∴9362m（2）设直线BD的解析式为yxb，∵直线BD过3(6)2B，，∴3=62b，∴92b∴直线BD的解析式为92yx，在92yx中，令0x，得92y，∴D(902，)。在92yx中，令0y，得92x，∴C(902，)。设过A、B、D三点的抛物线的解析式为2yaxbxc，得9293333662cabcabc解得：19422abc，，∴抛物线的解析式为219422yxx。（3）假设存在E（xy，）满足条件，199812228OCDS，19273224OACS在219422yxx中，令0y，解得47x，∴E的坐标应满足4747x，0y∵23OECDOACDSS四边形四边形∴2()3OCDOCEOCDOCASSSS∴811928127()822384y解得：12y∴21914222xx即28100xx∴46x∵4747x∴46x∴1(46)2E，（2011•抚顺）26.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD在x轴上，点A的坐标(－1,0)，点B在y轴的正半轴上，BC＝OB.(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式；(2)动点E从点B(不包括点B)出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A1B1EF，点A、B的对应点分别是点A1、B1，设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分．．．．的面积为S，F点的坐标是(x,0)．①当点A1落在(1)中的抛物线上时，求S的值；②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式．26.(1)△ABO中∠AOB＝90°tanA＝OBOA＝2，∵点A坐标是(－1,0)，∴OB＝2.∴点B的坐标是(0,2)．∵BC∥AD，BC＝OB，∴点C的坐标是(2,2)．设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋2，∵点A(－1,0)和点C(2,2)在抛物线上，∴0＝a－b＋2，2＝4a＋2b＋2.∴解得a＝－23，b＝43.∴y＝－23x2＋43x＋2.(2)①当点A1落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A1与点A关于对称轴对称，由沿直线EF折叠，所以点E是BC中点，重合部分面积就是梯形ABEF的面积．∴S＝S梯形ABEF＝12(BE＋AF)×BO＝2x＋1.②当0＜x≤1时，重合部分面积就梯形ABEF的面积，由题得AF＝x＋1，BE＝x，S＝S梯形ABEF＝12(BE＋AF)×BO＝2x＋1.方法一：当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A1NCEF的面积，设A1B1交CD于点N，作MN⊥DF于点N，CK⊥AD于点K，△NMA1∽△DMN，MA1NM＝NMMD，∵∠BAO＝∠MA1N，tan∠BAO＝2，∴tan∠MA1N＝2MNA1M.∴MA1＝12MN，MD＝2MN.∵tan∠BAO＝2，∠BAO＋∠CDK＝90°，∴tan∠CDK＝12.在△DCK中，∠CKD＝90°，CK＝OB＝2，tan∠CDK＝CKDK＝12，∴DK＝4，OD＝6.∵OF＝x，A1F＝x＋1，∴A1D＝OD－OF－A1F＝5－2x，FD＝6－x.∴MN＝23(5－2x)．∴S＝S梯形DCEF－S△A1ND＝8－2x－13(5－2x)2＝－43x2＋143x－13.方法二：当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A1MCEF