直线参数t的几何意义

第1页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估1．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.第2页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估2．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.第3页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估3．常见的参数方程(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ.(θ为参数)(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ.(θ为参数)(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ.(θ为参数)第4页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估(4)抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt.(t为参数)(5)过定点P(x0，y0)的倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.(t为参数)第5页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估热点考向突破第6页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估考向一曲线的极坐标方程[典例1]已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π)．第7页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估[规范解答]解：(1)将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.第8页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别是2，π4，2，π2.第9页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估规律方法(1)曲线的极坐标方程化为直角坐标方程时，如果不容易直接转化，要先变形．(2)已知两曲线的极坐标方程，求交点时可首先化为直角坐标方程，求出直角坐标交点再化为极坐标．第10页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估考向二曲线的参数方程[典例2](2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．第11页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估[规范解答]解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝32，y＝32，所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)，32，32.第12页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ，因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．∴|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.第13页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估规律方法(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．第14页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估[变式训练]已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋4cosθ，y＝2＋4sinθ(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．第15页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估解：(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，直线l：x＝3＋12t，y＝5＋32t(t为参数)．(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋33)t－3＝0，设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.第16页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估考向三极坐标方程与参数方程的综合应用[典例3]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1、直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)，求a，b的值．第17页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估[规范解答]解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.联立x2＋y－22＝4，x＋y－4＝0，解得x1＝0，y1＝4，x2＝2，y2＝2.所以C1与C2交点的极坐标为4，π2，22，π4.第18页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，点P与点Q的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，由参数方程可得y＝b2x－ab2＋1.所以b2＝1，－ab2＋1＝2.解得a＝－1，b＝2.第19页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估规律方法(1)求相关动点的轨迹方程时，用参数方程较为方便．(2)求两点间距离时，用极坐标比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解，无论哪种情形，用数形结合的方法，易得解题思路．第20页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估[变式训练]已知直线l的参数方程为x＝－1－32t，y＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sinθ－π6的公共点，求3x＋y的取值范围．第21页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6，所以ρ2＝4ρsinθ－π6＝4ρ32sinθ－12cosθ.又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝23y－2x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0.第22页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估(2)设z＝3x＋y，由圆C的方程x2＋y2＋2x－23y＝0得，(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆C的圆心是(－1，3)，半径是2.将x＝－1－32t，y＝3＋12t，第23页选修部分选修4-4名师伴你行·高考二轮复习·数学·文主干知识梳理热点考向突破专题验收评估代入z＝3x＋y得，z＝－t，又直线l过C(－1，3)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即3x＋y的取值范围是[－2,2]．第一部分三选考专项练走向高考·高考二轮总复习·数学案例(2014·哈三中、银川九中模拟)已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t－3y＝3t，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋3＝0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．(3)将曲线C向左平移4个单位，得到曲线C′，判断直线l与曲线C′的位置关系，若相交则求相交弦长．第一部分三选考专项练走向高考·高考二轮总复习·数学[易错分析]在(2)小问中，点P到直线l的距离d表达式中分子应加绝对值号，化简判断为正后，才能去掉绝对值号．(3)小问中当l的参数方程中参数t的系数平方和不是1时，相交弦长不等于|t1－t2|.第一部分三选考专项练走向高考·高考二轮总复习·数学[解答](1)直线l的普通方程为：3x－y＋33＝0；曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝1.(2)设点P(2＋cosθ，sinθ)(θ∈R)，则d＝|32＋cosθ－sinθ＋33|2＝|2cosθ＋π6＋53|2＝12[2cos(θ＋π6)＋53]．所以d的取值范围是[53－22，53＋22]．第一部分三选考专项练走向高考·高考二轮总复习·数学(3)由题意知，曲线C′：(x＋2)2＋y2＝1，将x＝t－3，y＝3t代入化简得：2t2－t＝0，∴t1＝0，t2＝12.∴曲线C′与直线l相交，相交弦长为12＋32|t1－t2|＝1.[警示]在参数方程x＝x0＋at，y＝y0＋bt，(t为参数)中，只有当a2＋b2＝1时，M(x，y)，N(x0，y0)两点间的距离才是|MN|＝t，否则应为|MN|＝a2＋b2t.第一部分三选考专项练走向高考·高考二轮总复习·数学(2014·新课标全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的