直线和圆的参数方程

直线的参数方程【基础知识梳理】1．直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为.x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)2参数的几何意义直线的参数方程中参数t的几何意义是：当M0M→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取；当M0M→与e反向时，t取；当点M与点M0重合时，t为．直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值正数负数零.tan,,,00000xxyylyxM的普通方程是的直线倾斜角为经过点我们知道①?的参数方程呢怎样建立直线leM0MxyOl142图.,,,,,,00000142yyxxyxyxMMyxMl则点上任取一在直线如图.sin,cos),(ele则度相同位长单位长度与坐标轴的单的单位方向向量是直线设,,,//teMMRteMM00使所以存在实数因为,sin,cos,tyyxx00即,sin,costyytxx00所以,sin,costyytxx00即的参数的直线倾斜角为经过点所以lyxM,,,000方程是为为参数t②.sin,costyytxx00?,的几何意义吗中参数方程的参数你能得到直线由思考tlteMM0②.,,.||||,.||,sin,cos的绝对值中参数等于的距离到定点直线上的动点所以得到由所以因为tMMtMMteMMee0001②.,;,;,,.,,sin,重合与点则点若向向下的方则若的方向向上则若此时的方向总是向上方向向量的单位直线所以时当00000000MMtMMtMMtel例1．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________.答案：6(3＋1)解析：由题意可得直线l的参数方程为x＝1＋12ty＝5＋32t(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，得1＋12t－5＋32t－2＝0，解得t＝－6(3＋1)．根据t的几何意义可知|MM0|＝6(3＋1)．【基本题型】(t解：(1)直线的参数方程是x＝1＋32ty＝1＋12t是参数)．例2.已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．62y2x(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A1＋32t1，1＋12t1，B1＋32t2，1＋12t2.以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0.①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.分析：本题主要考查直线参数方程以及直线与曲线的位置关系．首先把直线的参数方程代入曲线方程，可以得到关于参数t的二次方程，根据参数的有关意义可以解决此问题．例3．已知直线的参数方程为x＝－1＋3ty＝2－4t(t为参数)，它与曲线(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．(1)求|AB|的长；(2)求点P(－1,2)到线段AB中点C的距离．解：(1)把直线的参数方程化为标准形式代入曲线方程并化简得7t2-30t－50＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－307，t1t2＝－507.所以，线段|AB|的长为|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝10723.(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为t1＋t22＝－157所以，由t的几何意义可得点P(－1,2)到线段AB中点C的距离为︱－157︱＝157.?2?1.,,,21212121是多少的值对应的参数的中点线段的长是多少曲线的弦参数分别为对应的两点交于与曲线tMMMMMttMMxfy.sin,costyytxx00直线探究为参数t直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长AB＝|t1－t2|；②设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝t1＋t22(由此可求|M2M|及中点坐标)．【规律方法总结】.,2,1,,01:2两点的距离之积到的长和点求线条两点交于与抛物线已知直线BAMABBAxyyxl故其参数方程为的倾斜角为且过定点因为直线解,,43lMl为参数t,sin,cos432431tytx【练习】.,tytx222221为参数t即,,0222tt得把它代入抛物线的方程.,2102210221tt解得.||||||,||||2102121ttMBMAttABt的几何意义得由参数.,.,1416,1,2422的方程线求直的中点恰好为线段如果点两点于交椭圆作直线经过点例lABMBAyxlM为参数t.sin,costytx12的直线的参数方程为设过点解12,M整理得代入椭圆方程,.sincossin08241322tt.|||||,|||21tMBtMAt的几何意义知由所以这个方程必有两个实根在椭圆内因为点,,M.sinsincos1324221tt即所以的中点为线段因为点,,0221ttABM.tan,sincos2102kl的斜率为于是直线.,,0422211yxxyl即的方程是直线因此?,?的方程怎样求直线三等分点改为中点把适用吗的解法对一般圆锥曲线例思考l2?,250.45/40,30050市开始受到台风侵袭么经过多长时间后该城那属于台风侵袭的范围地方都以内的已知距台风中心动方向移的速度向西偏北并以处生成向东城市在某海滨当前台风中心例kmhkmkmOP.,),(,,0300152的坐标是则点图建立直角坐标系轴线为所在的直为原点取解PxOPOMOkmO置当台风中心移动后的位为半径作圆为圆心以,,250152图M045OxyP.222250yxO的方程为圆的方程为移动形成的直线台风中心根据条件知的坐标为台风中心后设经过时间lMyxMt,,,,sin,cos001354013540300tytx0tt,为参数,,tytx2202203000tt,为参数即152图M045OxyP.,将受台风侵袭城市上时内或圆在圆OOO解得即有上时内或在圆在圆当点,,,,02752120162502202203002202203002222tttOOttM,475215475215t...,6802tt的范围约为由计算器计算可得.,侵袭后该城市开始受到台风大约所以h2?),/,:(?,么问题又该如何解决那的速度不断增大并以前半径为当比如发生变化如果台风侵袭的半径也长时间受台风侵袭大概持续多海滨城市中在例思考hkmkmO102503152图M045OxyP写出经过点P(1，－5)，倾斜角是π3的直线参数方程，(1)利用这个参数方程求这条直线与直线x－y－23＝0的交点与点P的距离，(2)求这条直线和圆x2＋y2＝16的两个交点与点P的距离之积．【练习】解：直线的参数方程为x＝1＋tcosπ3，y＝－5＋tsinπ3，即x＝1＋12t，y＝－5＋32t.①将①代入直线方程x－y－23＝0，得1＋12t＋5－32t－23＝0，解得t＝43.根据直线参数方程中参数t的几何意义知两条直线的交点与P点的距离为43.又将①代入圆的方程x2＋y2＝16，得1＋12t2＋－5＋32t2＝16，即t2＋(1－53)t＋10＝0，则t1＋t2＝53－1，t1·t2＝10(t1，t2为关于t的一元二次方程的两根)，从而直线和圆的两交点与点P的距离之积为10.