直线对称问题

对称问题甘淑清（1）点到直线距离公式：，0022AxByCdAB（2）两平行直线间的距离：，2122CCdAB回顾：注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意:运用此公式时直线方程要化成一般式,并且X、Y项的系数要对应相等.有关知识：1、直线互相垂直的条件：__________________2、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的中点坐标为______________3、点(xo，yo)在直线Ax+By+C=0上的条件是__________________斜率存在，k1k2=－1Axo+Byo+C=0)2,2(2121yyxx对称问题中心对称问题点关于点的对称线关于点的对称轴对称问题点关于线的对称线关于线的对称轴对称中心对称有一条对称轴:直线有一个对称中心:点定义沿轴翻转180°绕中心旋转180°翻转后重合旋转后重合性质1、两个图形是全等形2、对称轴是对应点连线的垂直平分线3、对称线段或延长线相交，交点在对称轴上1、两个图形是全等形2、对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。例1.已知点A(5,8)，B(-4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标。知识运用与解题研究一、点关于点对称解题要点：中点公式的运用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x21=8+y2解:设C(x,y)则得x=-13y=-6∴···例3.求直线l1:3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l2的方程。二、直线关于点对称解题要点：法一：l2上的任意一点的对称点在l1上;法二：L1∥L2点斜式或对称两点式法三：l1//l2且P到两直线等距。解：设A(x，y)为L2上任意一点则A关于P的对称点A′在L1上∴3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线l2的方程为3x-y-10=0·AL2L1YXOPA′··例3.求直线l1:3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l2的方程。二、直线关于点对称解题要点：法一：l2上的任意一点的对称点在l1上;法二：L1∥L2点斜式或对称两点式法三：l1//l2且P到两直线等距。直线l2的方程为3x-y-10=0·L2L1YXOP例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l的方程为3x+y-2=0,求点A关于直线l的对称点A’的坐标。三、点关于直线对称解题要点：k•kAA’=-1AA’中点在l上A··A′YXO-3·y-4x-(-4)=-13·-4+x2+4+y2-2=0(x，y)(2，6)解：设A′（x,y)则·（L为对称轴）例4.试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y+3=0对称的直线l的方程。四、直线关于直线对称L1L2Lx-y-2=03x-y+3=0P∴L：7x+y+6=0yXO解：P(，)-12-52得在上任取一点Q(2,0),求其关于的对称点Q’(x,y)L1L2··Q(2,0),·Q’(x,y)3·y-0x-2=-13·y+02+3=0则X+22求出Q’点坐标后，两点式求L方程。四、直线关于直线对称··L1L2LPyXO·Q(2,0),Q’(x,y)解题要点：（1）若两直线相交，先求交点P,再在上取一点Q求其对称点得另一点Q’两点式求L方程L1求关于的对称直线L的方程L1L2思考：若l1//l2,如何求l1关于l2的对称直线方程？例4.试求直线l1:x-y+2=0关于直线l2:x-y+1=0对称的直线l的方程。四、直线关于直线对称L2L1L解：设L方程为x-y+m=0则与距离等于与距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求mxoy四、直线关于直线对称解题要点：(先判断两直线位置关系)（1）若两直线相交，先求交点P,再在上取一点Q求其对称点得另一点Q’两点式求L方程L1求关于的对称直线L的方程L1L2则与距离等于与距离L1L2L2L建立等量关系，解方程求m(2)若‖，设L方程为x-y+m=0L1L2请大家完成下例填空题•1.点关于原点的对称点为;•2.点关于点的对称点为;•3.点关于x轴的对称点为;•4.点关于y轴的对称点为;•5.点关于y=x的对称点为;•6.点关于y=-x的对称点为;•7.点关于x=m的对称点为;•8.点关于y=n的对称点为;(,)ab),(ba(-a,-b)),(ba),(nm(2m-a,2n-b)),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba(a,-b)(b,a)(-b,-a)(2m-a,b)(-a,b)(a,2n-b)例题：的对称点。关于求已知直线lpyxl)5,4(,033:P与P’中点垂直PP’·例题：的对称点。关于求已知直线lpyxl)5,4(,033:。对称点的坐标为解得则的对称点为关于解：设点)7,2(7214530325243),('yxxyyxyxplp结论：1)(022),(')0(0:),(000000BAaxbyCbyBaxAyxEBCByAxlbaE的求法：的对称点关于直线变题一:的方程。的对称的直线关于点求直线)2,3(Ml.0173',(7,4)',(6,1)Q',(-1,0),(0,3)'yxlRMRQlMl的方程为所以别为的对称点分则它们关于点因此，可取上。的对称点必在点关于上任找两点，则这两点在条直线，故只需法一：根据两点确定一.0173'Q'.)1,6(',)3,0(03','//'yxllQMQlCyxlllMll的方程为所以上，在又点为的对称则它关于点上取一点在的方程为所以设对称，所以关于点与法二：由图可知：0173',03)4()6(3'),4,6('),,('yxlyxlPyxPMyxPl的方程为整理得所以上，在直线则点的对称点为点则它关于上任找一点法三：在变题二:的方程。直线的对称关于直线求直线'05:lyxml0173',)4,5(',)5,2(',)0,1(,)3,0('05:yxlRQmRQlyxml的方程为：整理得所以由两点式的对称点分别为们关于直线则它因此，可取上。的对称点必在关于直线上任找两点，则这两点条直线，故只需在法一：根据两点确定一0173'6105033yxlyxyx的方程为：所以由两点式整理得），，为：（得交点坐标法二：由.0173'03)5()5(3'5510522,),(',),('00000000yxlxylPxyyxxxyyyyxxyxPmPyxPl的方程为：整理得上，所以在直线由于点解得则的对称点为：关于设上任找一点法三：在常用结论:0CByAxl的方程为设直线0)(CyBAx0)(CByxA1.直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于x轴的对称直线的方程为:3.直线关于y轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为:5.直线关于直线y=-x的对称直线的方程为0CAyBx0)()(CxByA0)()(CybxA