3.1.1_方程的根与函数的零点讲课省级公开课

3.1.1方程的根与函数的零点问题1求下列方程的根．（1）016x；（2）01632xx；（3）01635xx；怎么解呢？提出问题引入新课花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。方程解法史话:062lnxx问题2：求下面这个方程的实数根怎么解呢？问题3转换角度！用函数的思想去解决方程的问题。即：通过研究相应函数去解方程。怎么解一般的方程?0)(xf问题4方程0)(xf的根与函数)(xfy之间有什么样的关系呢？思考探究一有什么关系？的图像与二次函数的根一元二次方程)0()0(022acbxaxyacbxax先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数03212xx）方程（01222xx）方程（032)3(2xx方程322xxxf122xxxf322xxxf思考探究一方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3判别式000y=ax2+bx+c的图象ax2+bx+c=0的根xyx1x20xy0x1xy0函数的图象与x轴的交点两个交点(x1,0),(x2,0)无交点有两个相等的实数根x1=x2无实数根两个不相等的实数根x1、x20,2ab一个交点结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与X轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与X轴无交点。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，以.0为例画图a推广到更一般的情况，得：轴交点的横坐标的图象与函数的实数根方程xxfyxf)(0)(1.函数的零点：成立的把使对于函数0)(),(xfxfy.)(y的零点叫做函数xf实数x零点是一个点吗?(1)零点是一个实数的有零点函数轴有交点的图象与函数有实数根方程)()(0)(xfyxxfyxf所以：的零点函数轴交点的横坐标的图象与函数的实数根方程)()(0)()2(xfyxxfyxfxy2log12xxy2110012xy1.函数的零点是：_____2.函数的零点是：_____4.函数的零点个数是：_____12xy3.函数的零点是：_____5.函数的零点个数是：____232)(2xxxf2练习1练习2函数y=f(x)的图象如下，则其零点为.213xyO-2,1,3思考探究二所有函数都存在零点吗？什么条件下才能确定零点的存在呢？1.观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:（1）函数f(x)在区间[-2,1]内有零点x＝___,有f(－2)·f(1)____0(或)（2）函数f(x)在区间[2,4]内有零点x＝___，有f(2)·f(4)____0（或)xyO－132112－1－2－3－4－24思考探究二函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？有有有(1)在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a)·f(b)____0（＜或＞）．(2)在区间(b,c)上____(有/无)零点；f(b)·f(c)____0（＜或＞）．(3)在区间(c,d)上____(有/无)零点；f(c).f(d)____0（＜或＞）．思考探究二abxy0ab0yxab0yx思考探究二内一定存在零点吗？在区间则函数义，而且满足上有定在区间若函数baxfybfafbaxfy,,0],[)(2.零点存在性定理：那么这个使得,0)(),,(cfbac的根。0)(xf在区间)(xfy如果函数上的图象是在区间baxfy,)(的一条曲线，并且f(a)·f(b)0，（a,b）内有零点，即存在连续不断c也就是方程（1）两个前提条件缺一不可（2）“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？至少有一个，可以有多个。请问若函数满足函数零点存在性的判定方法的两个条件，那么函数对应的图象有多少种类型？请全部画出来.abxy0ab0yxab0yxab0yxab0yx若函数满足函数零点存在性的判定方法的两个条件，则函数在区间（a,b）上究竟存在几个零点？函数何时只有一个零点？函数零点存在且唯一的判定方法：函数y=f(x)在区间[a,b]上①图象连续②f(a)•f(b)0③若函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数则函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点且唯一.ab0yxab0yxabxy0在区间)(xfy那么如果函数上的图象是在区间baxfy,)(的一条曲线，并且f(a)·f(b)0，并且是单调函数，（a,b）内有且只有一个零点。连续不断abxy0（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？abbbbbbbbbbbbbbbbxy0(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)0的结论吗？反之不成立！(5)定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。由表3-1和图3.1—3可知f(2)0,f(3)0，即f(2)·f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题:求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219三、解题示范解法三：通过数形结合，把讨论原函数的零点个数问题转化为讨论方程的根个数问题，再转化为两个简单函数的图象交点个数问题，其步骤是：①令f（x）=0,得方程②方程变形，lnx=-2x+6,拆成两个函数g（x）=lnx,h（x）=6-2x③画两函数图象④根据两函数图象交点个数即为原函数的零点个数,得结果.y=－2x+6y=lnx60x1234y1解法二：估算f(x)在各整数处的取值的正负：x1234f(x)－－＋＋练习1：在下列哪个区间内,函数f(x)=x3＋3x－5一定有零点（）A、(－1,0）B、(0,1）C、(1,2）D、(2,3）C练习2：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x,f(x)对应值表：–26–12–511–7923f(x)7654321x那么该函数在区间[1，6]上有（）零点.A、只有3个B、至少有3个C、至多有3个D、无法确定B练习2：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3）x2＝4x－4；（4）5x2＋2x＝3x2＋5.四、解题体验1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,作出函数f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。对了，你真棒！1(1)－x2＋3x＋5＝01(2)解：2x(x－2)＝－3可化为2x2－4x＋3＝0，令f(x)=2x2－4x＋3,作出函数f(x)的图象,如下：xy0－132112543.....它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。对了，你真棒！1(2)2x(x－2)＝－31(3)解：x2＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)=x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：.....它与x轴只有一个交点，所以方程x2＝4x－4有两个相等的实数根。xy0－13211254364对了，你真棒！1(3)x2＝4x－41(4)解：5x2+2x＝3x2+5可化为2x2＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋2x－5,作出函数f(x)的图象，如下：xy0－132112－1－3－3－43－6－54－4－2－2.....它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x＝3x2+5有两个不相等的实数根。对了，你真棒！1(4)5x2＋2x＝3x2＋52(1)解：作出函数的图象，如下：因为f(1)=10,f(1.5)=－2.8750,所以f(x)=－x3－3x+5在区间(1,1.5)上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有且只有一个零点。xy0－132112543f(x)=－x3－3x+5.....利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：课堂小结：1.函数零点的定义；2.函数的零点与方程的根的关系；４.确定函数的零点所在区间的方法3.函数零点存在性定理;