2.2圆锥曲线的参数方程

新课标人教版课件系列《高中数学》选修4－42.2.1《椭圆的参数方程》教学目标•掌握椭圆的参数方程及其解法；理解方程参数是椭圆的离心角，不是旋转角。cossinxayb参数方程。轴上的椭圆的，焦点在这是中心在原点为参数一个参数方程为的我们得到了椭圆由例xObyaxbabyax)(sincos{)0(142222的意义是什么？方程中参数数的意义，椭圆的参数类比圆的参数方程中参思考：如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.OAMxyNB分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设∠XOA=φxyoAMBsinsincoscos,,),(bOByaOAxBAyBxAyxMOAox定义有的的终边上，由三角函数均在角，由点的纵坐标为点的横坐标为，那么点是的坐标，点为终边的角为始边，设以轴上的椭圆。，焦点在这是中心在原点为参数是的轨迹，它的参数方程点旋转一周时，就得到了绕点当半径xObyaxMOOA)(sincos{)2,0[范围是的通常规定参数在椭圆的参数方程中，的意义类似吗？中参数为参数程的意义与圆的参数方椭圆的参数方程中参数思考：)(sincos{ryrx的旋转角。是半径的旋转角，参数是，不的离心角称为点的旋转角或径所对应的圆的半是点由图可以看出，参数OMOMMOBOAM)()(sincos{)(sincos{.1111{222222byaxyxyxbyaxybyxax方程为可以得到椭圆的参数为参数利用圆的参数方程＋可以变成则椭圆的方程通过伸缩变换从几何变换的角度看，椭圆参数方程的推导1.参数方程是椭圆的参数方程.cosxasinyb2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab另外,称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2)cos,sin.xaXyb焦点在轴cos,sin.xbYya焦点在轴φOAMxyNB知识归纳椭圆的标准方程:12222byax椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:)(sinbycosa为参数xxyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为参数rrxθ的几何意义是∠AOP=θPAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.【练习1】把下列普通方程化为参数方程.22149xy22116yx(1)(2)3cos5sinxy8cos10sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx练习2：已知椭圆的参数方程为(是参数)，则此椭圆的长轴长为（），短轴长为（），焦点坐标是（），离心率是（）。2cossinxy4232(,0)322234cos2sin3cos0,()____________________xyxy练习：已知圆的方程为为参数，那么圆心的轨迹的普通方程为14)(sincos2{1)sin()cos2(0cos3sin2cos42222222yxyxyxyxyx化为普通方程是为参数所以圆心的参数方程为可以化为解：方程例1在椭圆上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最小，并求出最小距离.22194xyxyOM98(,)55M最小值为5例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最小.xyOP分析1：),y,y(288P设2882|4yy|d则分析2：),sin,cos(P22设222|4sincos|d则分析3：平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例3、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。22110064xy:10cos,8sinA解设20cos,16sin2016sincos160sin2ADABS,ABCD160所以矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX练习3:已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.22941yx:,ABOABP解椭圆参数方程设点P(3cos,2sin)S面积一定需求S最大即可264132212360|cossin6|2sin()23,,yxPABxyddP3322即求点到线的距离最大值线AB的方程为66所以当=时有最大值面积最大4这时点的坐标为(,2)练习41、动点P(x,y)在曲线上变化，求2x+3y的最大值和最小值14922yx.,2626最小值最大值2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ22y1818x小结：圆的参数方程：（为参数）cossinxryr（以原点为圆心，r为半径，为旋转角）小结：椭圆的参数方程：cossinxayb（为参数）表明分别是椭圆的长轴长与短轴长，且焦点在轴上，参数是椭圆的离心角，不是旋转角，由例１可以可看出，利用椭圆的参数方程解最值问题会比较简单．0ab2,2abx二、圆锥曲线的参数方程2、双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'A'OBBy在中，(,)Mxy设|'|||tanBBOBtan.b'OAAx在中，|||'|cosOAOAcosbsec,bsec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数2a222xy消去参数后，得-=1,b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'Asec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3[,2)22o通常规定且，。⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.1.双曲线为参数)的渐近线方程为_____.3sec(tanxy例2、2222100xyMabOabMABMAOB(,)如图，设为双曲线任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点。探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？OBMAxy.byxa双曲线的渐近线方程为：解：tan(sec).MbybxaaA不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线的方程为（asec,btan）：①b将y=x代入①，解得点A的横坐标为aAax=（sectan）2.Bax=（se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设AOx=,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA||OB|sin2=ABxxsin2coscos2222a(sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。3、抛物线的参数方程xyoM(x,y)•抛物线的参数方程oyxHM(x，y)M设（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作。tan.My因为点（x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得x.2又设抛物线普通方程为y=2px,().y22px=tan解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程：为参数2ptan1如果设t=,t(-,0)(0,+),则有tan,().ty2x=2pt为参数2pt0t当时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，为参数，表示整条抛物线。2pt思考：参数t的几何意义是什么?•抛物线的参数方程oyxHM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y2121212121212121,1,,,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx、、、、所在直线的斜率是则弦所对应的参数分别是，两点上异于原点的不同为参数、若曲线()c2122212122222121121212112222)2,2(),2,2(,1ttptptptptkptptMptptMMMttMMMM的坐标分别为和，则可得点和别是两点对应的参数方程分解：由于的轨迹方程。，求点相交于点并于且上异于顶点的两动点，是抛物线是直角坐标原点，、如图例MMABABOMOBOAppxyBAO,)0(2,32xyoBAM)8.(..........1,0)2()2(,0,))(2),(2()2,2(),2,2(),,()0,)(2,2(),2,2(),(,,212122211221222221212121222121ttttptptOBOAOBOAttpttpABptptOBptptOAyxOMttttptptptptyxBAM所以即所以因为则且的坐标分别为解：根据条件，设点2221211212211222,0,2()2()0()0,(0)................................(9)(2,2),(2,2),,OMABOMABpxttpyttxttyyttxxAMxptyptMBptxptyAMB因为所以即所以即因为且三点共线，的轨迹方程这就是点即得到代入将化简，得所以Mxpxyxxpxyyxtptttyptyxptyptptx)0(0202)(),10()9(),8()10.....(..........02)()2)(2()2)(2(222121122221?,3最小？最小值是多少的面积在什么位置时，中，点在例探究：AOBBA.4,44)(222)1()1(212)2()2(12)2()2(3221222122221222212122222222221121221pAOBxBAttpttpttpttttpSAOBttpptptOBttpptptOAAOB的面积最小，最小值为轴对称时，关于，即当点当且仅当的面积为所以，＝可得由例小节：1、抛物线的参数方程的形式2、抛物线参数的意义