搜索
第24章图形的相似24.1相似的图形教学目标：理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。由于需要的不同，要制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。教学过程：一、导入新课挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，供同学观察，并看课本第４２页的图，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢?这些图片大小虽然不一样，但形状是相同。二、讲解新课由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同。同学们想一想，在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样，但形状相同，如果不相同会有什么后果呢?大小不相同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，印制成大小不一的图片。对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图(同一地区)的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图形。在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。同学们你还能说出哪些相似的图形吗?(同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国旗上的五角星。画一个图形放在投影机上映射到屏幕上的图形与原图、平面镜上看到你自己的像等。如图所示的是一些相似的图形。想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗?你看过哈哈镜吗?哈哈镜中的形像与你本人相似吗?还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢?这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这章要探索的内容。三、课堂练习课本第４３页试一试，你能画出两个或更多的相似形吗?四、小结形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形，相似形在日常生活中经常碰到。五、作业P４４1、2。２４.２相似图形的特征第一课时相似图形的特征（一）教学目标：1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。教学过程：一、复习引入挂上两张中国地图，问：1．这两个图形有什么联系?它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。二、新课先从这两张相似的地图上研究。1．成比例线段：请一位同学在地图上找出北京、上海、福州的位置，如果我们用A、B、C分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置，请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离，即线段AB＝＿＿cm，上海到福州的直线距离，即线段BC＝＿＿cm，在小地图上用A′、B′、C′、分别表示北京、上海、福州的位置，也量一量A′B′＝＿＿cm，B′C′＝＿＿cm。在地图上量出的AB与A′B′，BC与B′C′长度是否相等?为什么会不一样呢?线段AB与A′B′，BC与B′C′有什么关系呢?请同学们算一算它们两线段的长度的比，即AB：A′B′，BC：B′C′会有什么样的结果呢?我们会得到AB与A′B′这两条线段的比与BC，B′C′这两条线段的比是相等的，即ABA′B′＝BCB′C′。对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即ab＝cd，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。若线段a、b、c、d成比例，即a:b＝c:d，那么其内项乘积等于外项乘积。a·d＝b·c，其他的比例性质也都适用。上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段就是成比例线段，实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的，同学们不妨再量一量北京到福州的距离，即AC与A′C′，然后再算AC；A′C′，看看是否成比例。如果ACA′C′≠ABA′B′，那会出现什么情况?如果ab＝bc那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成b2＝ac例1：在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，求甲、乙两地的实际距离。例2：线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，求：ab与bc，这四条线段会成比例吗?例3：如图AB＝21，AD＝15，CE＝40，并且ADAB＝AEAC，求AC的长。三、练习1．(1)根据图示求线段比ACCD、ACCB、CDDB、ACAD、CDCB(2)指出图中成比例的线段。2、等腰三角形两腰的比是多少？等腰三角形的腰与底边的比是多少？四、小结同学回忆1、什么样的线段成比例线段？2、线段成比例与线段比有什么区别？3、比例有哪些性质？五、作业P４７1、2、3第二课时相似图形的特征（二）教学目标：知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等。识别两个多边形是否相似的方法。教学过程：一、复习1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a、b，c、d会成比例吗?2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系?(都成比例)二、新课相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢?同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第４８页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流。同学们会发现有什么关系呢?经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果?反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系?同学用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关?对应边成比例，对应角相等。由此可以得到两个相似多边形的特征：(由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等。实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法。即如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似。识别两个多边形是否相似的标准有：(边数相同)，对应边要(成比例)，对应角要(都相等)。(填号内要求同学填)想一想：(1)两个三角形一定是相似形吗?两个等腰三角形呢?两个等边三角形呢?两个等腰直角三角形呢?-(2)所有的菱形都相似吗?所有矩形呢?正方形呢?例1：矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′＝0.8cm，B′C′＝2.4cm，这两个矩形相似吗?为什么?例2：(课本第４９页例题)三、练习1．课本第５0页练习。2．(补充)：(1)矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，A′D′＝6cm，矩形A′B′C′D′的面积为57cm2，这两个矩形相似吗?为什么?3．如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x，y及角a。四、小结1．两个多边形是否相似的两个标准是什么?2．相似多边形具有什么特征?五、作业P５１２，４，５。２４.３相似三角形1．相似三角形教学目标：1．知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。2．能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。教学过程：一、复习什么是相似形?识别两个多边形是否相似的标准是什么?二、新课1．相似三角形的有关概念：由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似。三角形是最简单的多边形。由此可以说什么样的两个三角形相似?如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两三角形相似就读作：“△ABC相似于△A′B′C′”。由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝K，那么这个K就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为K，即指ABA′B′＝K，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是A′B′AB，就不是K了，应为多少呢?同学们想一想?2．△ABC中，D，E是AB、AC的中点，连结DE，那么△ADE与△ABC相似吗?为什么?如果相似，它们的相似比为多少?如果点D不是AB中点，是AB上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与ABC是否也会相似呢?判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑。能否得对应角相等?根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢?目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例?通过度量，计算发现ADAB＝AEAC＝DEBC．所以可以判断出△ADE与△ABC会相似。若是如图DE∥BC，与BA、CA延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗?试一试看。如果相似写出它们对应边的比例式．3．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比K＝1，你会发现什么呢?ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝1，所以可得AB＝A′B′,BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，试问：全等的两个三角形一定相似吗?相似的两个三角形会全等吗?全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别?4．例：如果一个三角形的三边长分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长．边是39，那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形的周长的比是多少?分析：这两个三角形会相似，对应边是哪些边?相似比是多少?哪一个三角形较大?要计算出它的周长还需求什么?根据什么来求?三、练习判断下列两个三角形是否相似?简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例四、小结1．填空。＿＿＿＿＿＿＿的三角形叫做相似三角形。2．两个相似三角形的相似比为1，这两个三角形有什么关系?3、如果一条直线平行于三角形一边，与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗?指出它们的对应边。五、作业P541、2、3。2．相似三角形的识别第一课时相似三角形的识别(一)教学目标：1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。教学过程：一、复习1．两个矩形一定会相似吗?为什么?2．如何判断两个三角形是否相似?根据定义：对应角相等，对应边成比例。3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。二、新课讲解同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。(1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。(2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢?这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗?请同学们动手试一试：1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等?为什么?实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的。2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否有相同结果。3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢?这是由于三角形具