华师大版 九年级上册 第25章 解直角三角形 电子课本(新版)

§25.1测量...........................................................................................3§25.2锐角三角函数..........................................................................41.锐角三角函数............................................................................42．用计算器求锐角三角函数值..................................................7§25.3解直角三角形..........................................................................9阅读材料......................................................................................13小结.....................................................................................................14复习题.................................................................................................15课题学习.............................................................................................18章解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题．222cbaabBtan§25.1测量当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．图25.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．．11．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）（第1题）2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．（第3题）§25.2锐角三角函数1.锐角三角函数在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即△ABC∽△A′B′C′．按5001的比例，就一定有5001ACCABCCB，5001就是它们的相似比．当然也有ACBCCACB．我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图25．2．1）．图25.2.1前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．思考一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？图25.2.2观察图25．2．2中的Rt△11CAB、Rt△22CAB和Rt△33CAB，易知Rt△11CAB∽Rt△_________∽Rt△________，所以111ACCB＝_________＝____________．可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即sinA＝斜边的对边A，cosA＝斜边的邻边A，tanA＝的邻边的对边AA，cotA＝的对边的邻边AA．分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．根据三角函数的定义，我们还可得出AA22cossin＝1，tanA·cotA＝1．图25.2.3例1求出图25．2．3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值．解1728922ACBCAB，sinA＝178ABBC，cosA＝1715ABAC，tanA＝158ACBC，cotA＝815BCAC．探索根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少．通过计算，我们可以得出图25.2.4sin30°＝21斜边对边，即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．思考上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．做一做在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：（1）∠A＝30°；（2）∠A＝60°；（3）∠A＝45°．为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：αsinαcosαtanαcotα30°2145°1160°21练习1．如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°．∠P的对边是____________，∠P的邻边是__________；∠M的对边是____________，∠M的邻边是_________．(第1题)（第2题）2．求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值．3．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值：（1）a＝3，b＝4；（2）a＝5，c＝13．4．求值：2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．2．用计算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．（1）求已知锐角的三角函数值°52′41″的值．（精确到0．0001）解先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：(SETUP)显示．再按下列顺序依次按键：显示结果为0．897859012．所以sin63°52′41″≈0．8979．例3求cot70°45′的值．（精确到0．0001）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示），按下列顺序依次按键：显示结果为0．3492156334．所以cot70°45′≈0．3492．（2）由锐角三角函数值求锐角例4已知tanx＝0．7410，求锐角x．（精确到1′）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示），按下列顺序依次按键：(1tan)显示结果为36．53844577．再按键：显示结果为4.182336．SHIFTMODE3Dsin63o’”tan52o’”o’”41=D170o’”45o’”=DSHIFTtan04701=SHIFTo’”≈36°32′．例5已知cotx＝0．1950，求锐角x．（精确到1′）分析根据xxcot1tan，可以求出tanx的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值．练习1．使用计算器求下列三角函数值．（精确到0．0001）sin24°，cos51°42′20″，tan70°21′，cot70°．2．已知下列锐角α的各三角函数值，使用计算器求锐角α．（精确到1′）（1）sinα＝0．2476；（2）cosα＝0．4174；（3）tanα＝0．1890；（4）cotα＝1．3773．习题25．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝21，AB＝29，分别求∠A、∠B的四个三角函数值．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝3∶4，求∠A的四个三角函数值．3．求下列各式的值．（1）sin30°＋45sin2－2tan3160°；（2）)60cos430)(cot60tan30sin4(．4．用计算器求下式的值．（精确到0．0001）sin81°32′17″＋cos38°43′47″．5．已知cotA＝3．1748，利用计算器求锐角A．（精确到1′）§25.3解直角三角形我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具．例1如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？图25.3.1解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为，26＋10＝36（米）．所以，大树在折断之前高为36米．在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．图25.3.2例2如图25．3．2，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）解在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，ABBC＝tan∠CAB，∴BC＝AB·tan∠CAB＝2000×tan50°≈2384（米）．∵ACAB＝cos50°，∴AC＝50cos200050cosAB≈3111（米）．答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米．