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第七章图形的变化第26讲轴对称与中心对称考点一轴对称图形与轴对称1．轴对称图形如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．2．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．3．轴对称的基本性质(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等，对应角相等．4．轴对称和轴对称图形的区别轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系；轴对称图形是对一个图形本身而言的.考点二中心对称图形与中心对称1．中心对称图形在平面内，把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点．2．中心对称在平面内，把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，那么这个点叫做对称中心，旋转前后两个图形上能够重合的点叫做关于中心的对称点．3．中心对称的性质(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等形；(3)点P(x，y)关于原点的对称点P′的坐标为(－x，－y)．考点一识别中心对称图形与轴对称图形例1(2016·宜昌)如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是()【点拨】选项A既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；选项B，C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形．故选A．【答案】A方法总结：根据轴对称图形和中心对称图形的定义判定：如果一个图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分完全重合，则这个图形为轴对称图形；如果一个图形绕某点旋转180°后能够与原图形重合，则这个图形为中心对称图形．考点二轴对称的性质例2如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在边AC上，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝65°，则∠BDF等于()A．65°B．50°C．60°D．57.5°【点拨】由轴对称的性质，可得AD＝DF.∵D为△ABC边AB的中点，∴AD＝DB．∴DF＝DB．∴∠DFB＝∠B＝65°.∴∠BDF＝180°－65°－65°＝50°.故选B．【答案】B方法总结：折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线成轴对称．折叠前后的两个图形是全等形，对应线段相等，对应角相等．考点三画轴对称图形例3(2016·临夏州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上．(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；(2)将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【点拨】(1)直接利用关于x轴对称的点的性质得出各对应点位置进而得出答案；(2)直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)由上图可知，A1(0，－1)，B1(3，－2)，C1(1，－4)，将它们分别向左平移3个单位，得点A2(－3，－1)，B2(0，－2)，C2(－2，－4)．方法总结：作一个图形的轴对称图形，一种方法是通过作垂线并截取，作出各个关键点的对称点，顺次连接关键点即可得到；另一种方法是根据关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标的特点求出对称点的坐标，然后描点作出对称图形．1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是(D)2．(2016·厦门)已知△ABC的周长是1，BC＝1－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是(C)A．△ABC的边AB的垂直平分线B．∠ACB的平分线所在的直线C．△ABC的边BC上的中线所在的直线D．△ABC的边AC上的高所在的直线3．如图，若▱ABCD与▱BCFE关于BC所在的直线对称，∠ABE＝86°，则∠E等于(A)A．137°B．104°C．94°D．86°4．若∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是(D)A．OP1⊥OP2，OP1≠OP2B．OP1＝OP2，OP1与OP2不垂直C．OP1≠OP2，OP1与OP2不垂直D．OP1⊥OP2，OP1＝OP25．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为12．6．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(－3，－1)．(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．解：(1)△A1B1C1如图所示，点B1(－2，－1)．(2)△A2B2C2如图所示，C2(1，1)．一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2016·北京)甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是(D)2．(2016·成都)平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于x轴对称的点的坐标为(A)A．(－2，－3)B．(2，－3)C．(－3，－2)D．(3，－2)3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是(A)4．如图，在四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(B)5．(2016·南充)如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是()【导学号90280294】A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM【解析】∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，点A与点B对应，∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM.∵点P是直线MN上的点，∴∠MAP＝∠MBP，∴A，C，D正确，∵根据已知条件无法确定AP＝BN，∴B错误．故选B．【答案】B6．(2016·呼和浩特)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)A．96B．69C．66D．99【解析】将数字“69”旋转180°，得到的数字仍是69.故选B．7．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为()【导学号90280295】A．①②B．②③C．①③D．①②③【解析】由中心对称图形的性质可知，标号为①的两个长方形是完全重合的，标号为②的两个正方形是完全重合的．设正方形③的边长为a,正方形②的边长为b，则整个长方形的长为b＋a＋b＝2b＋a，宽为b＋(b－a)＝2b－a,∴原住房平面图长方形的周长＝2(2b＋a＋2b－a)＝8b，长方形①的周长为2(a＋b＋b－a)＝4b，正方形②的周长为4b，正方形③的周长为4a.故选A．【答案】A8．(2016·台州)小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了()A．1次B．2次C．3次D．4次【解析】如图，四边形ABCD，点E，F分别为AD，BC的中点．若沿EF对折，完全重合，则AB＝CD，∠A＝∠D，∠B＝∠C；若沿对角线BD对折，也完全垂合，则∠A＝∠C，AD＝CD，AB＝BC．综上AB＝CD＝AD＝BC，∠A＝∠C＝∠D＝∠B＝90°.∴四边形ABCD是正方形．故最少对折2次可验证四边形丝巾的形状是正方形．故选B．【答案】B9．一张菱形纸片按图①、图②依次对折后，再按图③打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是()【导学号90280296】【解析】观察上面的折叠方法，展开图中的圆形小孔关于菱形的对角线对称，故可排除D；又由图③可知，圆形小孔在折叠图中的较大锐角处，则展开后应在菱形的较大的内角处，不在中间的直角或较小锐角处，故排除A，B．故选C．【答案】C10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为()【导学号90280297】A．10B．8C．53D．6【解析】如图，由题意可得，作点B关于AC的对称点B′，连接BB′交AC于点E，连接AB′，过点B′作B′N⊥AB于点N，交AC于点M，连接MB，此时BM＋NM＝B′N最小．∵AB＝10，BC＝5，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝AB2＋BC2＝55.∵S△ABC＝12·AB·BC＝12AC·BE，∴BE＝AB·BCAC＝10×555＝25.∵BB′＝2BE，∴BB′＝45.设AN＝x，则BN＝10－x，∵AB′＝AB＝10，由勾股定理，可得102－x2＝(45)2－(10－x)2，解得x＝6，∴B′N＝102－62＝8.故选B．【答案】B11．(2016·宿迁)如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为()【导学号90280298】A．2B．3C．2D．1【解析】∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，∴FB＝AB＝2.又∵M，N分别为BC，AD的中点，∴BM＝1，∴在Rt△BMF中，FM＝BF2－BM2＝22－12＝3.故选B．【答案】B12．(2016·湖州)如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝7.如图2，在底边BC上取一点D，连接AD，使得∠DAC＝∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连接BE，得到四边形ABED．则BE的长是()【导学号90280299】A．4B．174C．32D．25【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC．∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴CACB＝CDCA，∴47＝CD4，∴CD＝167，BD＝BC－CD＝337.设AE与BD相交于点M，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA＝∠C，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，AD＝CD，∴ADBD＝DMDA，即167337＝DM167，∴DM＝16233×7，MB＝BD－DM＝332－1627×33.∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A，B，E，D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴ABBM＝BDBE，∴BE＝BM·BDAB＝332－1627×33×3374＝174.故选B．【答案】B二、填空题(每小题4分，共20分)13．(2016·赤峰)下列图形是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是①②③④(填序号)．14．(2016·娄底)如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为．【解析】∵将△ABC沿直线DE折叠后，点A与点C重合，∴AD＝CD．∵AB＝7，BC＝6，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝BC＋BD＋AD＝BC＋AB＝7＋6＝13.【答案】1315．(2016·内江)如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．【导学号90280300】【解析】如图，点C关于OA的对称点C′(－1，0)，点C关于直线AB的对称点C″(7，6),连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC的周长最小，△DEC的周长＝EC＋DE＋CD＝EC′＋DE＋DC″＝C′C″＝82＋62＝10.【答案】1016．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝15