2014年江苏省高考数学试卷答案与解析

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12014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2014•江苏)已知集合A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},则A∩B={﹣1,3}.考点:交集及其运算.菁优网版权所有专题:集合.分析:根据集合的基本运算即可得到结论.解答:解:∵A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},∴A∩B={﹣1,3},故答案为:{﹣1,3}点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)(2014•江苏)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为21.考点:复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有专题:数系的扩充和复数.分析:根据复数的有关概念,即可得到结论.解答:解:z=(5+2i)2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i,故z的实部为21,故答案为:21点评:本题主要考查复数的有关概念,利用复数的基本运算是解决本题的关键,比较基础.3.(5分)(2014•江苏)如图是一个算法流程图,则输出的n的值是5.考点:程序框图.菁优网版权所有专题:算法和程序框图.分析:算法的功能是求满足2n>20的最小的正整数n的值,代入正整数n验证可得答案.解答:解:由程序框图知:算法的功能是求满足2n>20的最小的正整数n的值,2∵24=16<20,25=32>20,∴输出n=5.故答案为:5.点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.(5分)(2014•江苏)从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.考点:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:首先列举并求出“从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数,利用概率公式计算即可.解答:解:从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6)共6个,所取2个数的乘积为6的基本事件有(1,6),(2,3)共2个,故所求概率P=.故答案为:.点评:本题主要考查了古典概型的概率公式的应用,关键是一一列举出所有的基本事件.5.(5分)(2014•江苏)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.考点:三角方程;函数的零点.菁优网版权所有专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:由于函数y=cosx与y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为的交点,可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.解答:解:∵函数y=cosx与y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为的交点,∴=.∵0≤φ<π,∴,∴+φ=,解得φ=.3故答案为:.点评:本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,属于基础题.6.(5分)(2014•江苏)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有24株树木的底部周长小于100cm.考点:频率分布直方图.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率,再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.解答:解:由频率分布直方图知:底部周长小于100cm的频率为(0.015+0.025)×10=0.4,∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24(株).故答案为:24.点评:本题考查了频率分布直方图,在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.(5分)(2014•江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是4.考点:等比数列的通项公式.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列.分析:利用等比数列的通项公式即可得出.解答:解:设等比数列{an}的公比为q>0,a1>0.∵a8=a6+2a4,∴,化为q4﹣q2﹣2=0,解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为:4.点评:本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题.48.(5分)(2014•江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).菁优网版权所有专题:立体几何.分析:设出两个圆柱的底面半径与高,通过侧面积相等,推出高的比,然后求解体积的比.解答:解:设两个圆柱的底面半径分别为R,r;高分别为H,h;∵=,∴,它们的侧面积相等,∴,∴===.故答案为:.点评:本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用,是基础题目.9.(5分)(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y﹣3=0被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.考点:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有专题:直线与圆.分析:求出已知圆的圆心为C(2,﹣1),半径r=2.利用点到直线的距离公式,算出点C到直线直线l的距离d,由垂径定理加以计算,可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.解答:解:圆(x﹣2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,﹣1),半径r=2,∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==,∴根据垂径定理,得直线x+2y﹣3=0被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的弦长为2=2=故答案为:.点评:本题给出直线与圆的方程,求直线被圆截得的弦长,着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.510.(5分)(2014•江苏)已知函数f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是(﹣,0).考点:二次函数的性质.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:由条件利用二次函数的性质可得,由此求得m的范围.解答:解:∵二次函数f(x)=x2+mx﹣1的图象开口向上,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,∴,即,解得﹣<m<0,故答案为:(﹣,0).点评:本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于基础题.11.(5分)(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是﹣3.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有专题:导数的概念及应用.分析:由曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,可得y|x=2=﹣5,且y′|x=2=,解方程可得答案.解答:解:∵直线7x+2y+3=0的斜率k=,曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,∴y′=2ax﹣,∴,6解得:,故a+b=﹣3,故答案为:﹣3点评:本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,其中根据已知得到y|x=2=﹣5,且y′|x=2=,是解答的关键.12.(5分)(2014•江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,•=2,则•的值是22.考点:向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有专题:平面向量及应用.分析:由=3,可得=+,=﹣,进而由AB=8,AD=5,=3,•=2,构造方程,进而可得答案.解答:解:∵=3,∴=+,=﹣,又∵AB=8,AD=5,∴•=(+)•(﹣)=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2,故•=22,故答案为:22.点评:本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知得到=+,=﹣,是解答的关键.713.(5分)(2014•江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是(0,).考点:根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象,利用数形结合判断a的范围即可.解答:解:f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),在同一坐标系中画出函数f(x)与y=a的图象如图:由图象可知.故答案为:(0,).点评:本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用.14.(5分)(2014•江苏)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.考点:余弦定理;正弦定理.菁优网版权所有专题:三角函数的图像与性质;解三角形.分析:根据正弦定理和余弦定理,利用基本不等式即可得到结论.解答:解:由正弦定理得a+b=2c,得c=(a+b),由余弦定理得cosC===8=≥=,当且仅当时,取等号,故≤cosC<1,故cosC的最小值是.故答案为:.点评:本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,利用基本不等式是解决本题的关键.二、解答题(本大题共6小题,共计90分)15.(14分)(2014•江苏)已知α∈(,π),sinα=.(1)求sin(+α)的值;(2)求cos(﹣2α)的值.考点:两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.菁优网版权所有专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:(1)通过已知条件求出cosα,然后利用两角和的正弦函数求sin(+α)的值;(2)求出cos2α,然后利用两角差的余弦函数求cos(﹣2α)的值.解答:解:α∈(,π),sinα=.∴cosα=﹣=(1)sin(+α)=sincosα+cossinα==﹣;∴sin(+α)的值为:﹣.(2)∵α∈(,π),sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=,sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos(﹣2α)=coscos2α+sinsin2α==﹣.cos(﹣2α)的值为:﹣.点评:本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.16.(14分)(2014•江苏)如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;9(2)平面BDE⊥平面ABC.考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离;空间角;立体几何.分析:(1)由D、E为PC、AC的中点,得出DE∥PA,从而得出PA∥平面DEF;(2)要证平面BDE⊥平面ABC,只需证DE⊥平面ABC,即证DE⊥EF,且DE⊥AC即可.解答:证明:(1)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE∥PA,又∵PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,∴PA∥平面DEF;(2)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE=PA=3;又∵E、F为AC、AB的中点,∴EF=BC=4;∴DE2+EF2=DF2,∴∠DEF=90°,∴DE⊥EF;∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC;∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面ABC;∵DE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABC.点评:本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系,是基础题目.17.(14分)(2014•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为(,),且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.10考点:椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.菁优网版权所有专题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