高等数学A-9-1-多元函数的基本概念

9-1多元函数微分法及其应用杂诗（东晋）陶渊明盛年不再来，一日难再晨.及时当勉励，岁月不待人.日月掷人去，有志不获聘.眷眷往昔时，忆此断人肠.9-1多元函数微分法及其应用第九章多元函数微分法及其应用推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同9-1多元函数微分法及其应用主要内容第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元微分学在几何上的应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法9-1多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念四、多元函数的连续性一、平面点集n维空间(星号内容)二、多元函数的概念三、多元函数的极限五、小结与思考练习9-1多元函数微分法及其应用一、平面点集n维空间（星号内容）1.平面点集坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作(,)(,).ExyxyP具有性质中的邻域2R点集称为点P0的邻域.δ0PP9-1多元函数微分法及其应用δ00PP例如,在平面上,),()δ,(0yxPU(圆邻域)),,(),(0zyxPU说明：若不需要强调邻域半径,也可写成.)(0PU点P0的去心邻域记为注：领域的概念推广到三维空间，上述圆邻域变为球邻域9-1多元函数微分法及其应用(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:I若存在点P的某邻域U(P)E,II若存在点P的某邻域U(P)∩E=,III若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含EE则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.2.区域PPP9-1多元函数微分法及其应用若对任意给定的0,点P的去心E邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)(2)聚点PP例如(见黑板)9-1多元函数微分法及其应用DI若点集E的点都是内点,则称E为开集；III若点集EE,则称E为闭集；IV若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,VI开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的；V连通的开集称为开区域,简称区域；..IIE的边界点的全体称为E的边界,记作E；(3)开区域及闭区域9-1多元函数微分法及其应用VIII(有界集)对于平面点集E,若存在正数r,使得其中O为坐标原点,则称E为有界集.否则称为无界集.例如(见黑板)PE与某定点A的距离APK,则称E为有界集，EUOr（,)，否则，称为无界集.或(有界集)对于平面点集E,若存在正数K,使一切点9-1多元函数微分法及其应用n元有序数组的全体称为n维空间,,nRn维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即RRRRn一个点,当所有坐标称该元素为nR中的零元,记作O.3.n维空间9-1多元函数微分法及其应用的距离记作中点a的邻域为),,,(21nyyyy与点),,,(21nnxxxxR中的点规定为),,,(21nnxxxxR中的点与零元O的距离为22221nxxxx.,3,2,1xxn通常记作时当0axaxRn满足与定元中的变元.ax记作nR9-1多元函数微分法及其应用二、多元函数的概念引例:1.圆柱体的体积2.定量理想气体的压强3.三角形面积的海伦公式cbahr9-1多元函数微分法及其应用点集D称为函数的定义域；数集DP,PfuuDf)()(称为函数的值域.注：1.当n=2时,有二元函数2.当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作定义1设非空点集9-1多元函数微分法及其应用xzy221yxz定义域为1),(22yxyx圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为球心在原点的上半球面.,)sin(.2yxz的图形一般为空间曲面.12),(Ryxxyzo例如1.二元函数9-1多元函数微分法及其应用三、多元函数的极限,)δ,(0PUDP则称A为函数22000()(),PPxxyy记则二元函数的极限可写作Ayxf),(lim0APfPP)(lim0若存在常数A,对一记作Ayxfyyxx),(lim00都有对任意正数,切的定义域为D定义2设二元函数()(,)fPfxy点是D的聚点，0P总存在正数,9-1多元函数微分法及其应用趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限若当点),(yxP以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.函数注：1.二元函数的极限也叫二重极限（doublelimit)2.二元函数极限的定义中的方式是任意的0PP3.多元函数的极限与一元函数极限的异同点.(思考、总结)9-1多元函数微分法及其应用B.欲证明极限不存在(如极限的局部保号性、无穷小与有界量的乘积仍然为无穷小、极限四则运算法则、夹逼准则、两个重要极限、等价无穷小替换等)4.多元函数的极限的基本问题有三类：(1)研究二元函数极限的存在性.A.欲证明极限存在，常用定义或夹逼准则.通过观察、猜测，常选择两条不同的路径，求出不同的极限.或找一条特殊路径，使函数沿此路径的极限不存在.(2)求极限值.一元函数求极限的方法，这里仍然可以使用9-1多元函数微分法及其应用0lim(,)()xxfxyAy000lim()lim[lim(,)]yyyyxxAyfxy(3)研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关系.000(,)(,)zfxyPxy在点定义3(累次极限)设函数的某个空心邻域有定义，y对于任意固定的,记0yy如果当时，()Ay也有极限，那么称(,)fxy为函数的累次极限.9-1多元函数微分法及其应用)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx例1设(同济6版P58例4)0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy例2设求证：.0),(lim00yxfyx9-1多元函数微分法及其应用22),(yxyxyxf在点(0,0)的极限.例3讨论函数(,)(0,2)sin()4lim.xyxyx例9-1多元函数微分法及其应用四、多元函数的连续性定义4设二元函数)(Pf定义在D上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上,0DP聚点如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,9-1多元函数微分法及其应用0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.122yx故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.例如,函数9-1多元函数微分法及其应用.11lim00yxyxyx222)3arcsin(),(yxyxyxf例6求函数的连续域.例5求9-1多元函数微分法及其应用)()2(Pf在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意，DQ(有界性定理)(最值定理)闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:定理：若f(P)在有界闭区域D上连续,则(介值定理)9-1多元函数微分法及其应用五、内容小结1.区域•邻域:,)δ,(0PU)δ,(0PU•区域连通的开集•空间nR2.多元函数概念n元函数),,,(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(PfunR9-1多元函数微分法及其应用APfPP)(lim0,0ε,0δ时，当δ00PP有ε)(APf4.多元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf2)闭域上的多元连续函数的性质:有界性定理；最值定理；介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续3.多元函数的极限00lim()()PPfPfP