第4讲--等参元和高斯积分

北京航空航天大学第4讲等参单元和数值积分金朝海[e-mail]北京航空航天大学实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单元的表达式比较困难（在整体坐标系下构造位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁）。事实上，形状不规整的单元和形状规整的单元（矩形单元、正六面体单元）可以建立一种映射关系，使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标系中的局部坐标一一对应。等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。北京航空航天大学4.1等参单元等参单元定义的给出平面问题四边形等参单元计算公式三维问题六面体等参单元计算公式采用等参单元的优点北京航空航天大学等参单元定义的给出等参单元：用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示出单元的几何坐标与位移的单元，称为等参单元。等参单元的插值函数用自然坐标给出。如果坐标变换节点数多于位移插值的节点数，称为超参变换。反之，如果坐标变换节点数少于位移插值的节点数，则称为亚参变换。北京航空航天大学平面问题四边形等参单元的推导整体直角坐标单元局部自然坐标(,)Pxy(,)P（一般四边形）（规格化的矩形）(,)Pxy(,)P映射11(,)xy44(,)xy33(,)xy22(,)xy坐标映射北京航空航天大学(,)(,)xxyy12341234xy(,)Pxy(,)P映射(,)(,)iiiiiixxyy节点条件：构造插值函数112131411212232422312333433412434444xxxx11234212343123441234xxxx11332244(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)北京航空航天大学11223344111111111111141111xxxx11223344111111111111141111yyyy123411223344123411223344xNxNxNxNxyNyNyNyNy132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN北京航空航天大学112212343123434400000000xyxyNNNNxxNNNNyyxy(,)(,)exNx北京航空航天大学12341234((,),(,))(,)((,),(,))(,)uxyuvxyv11(,)xy44(,)xy33(,)xy22(,)xy(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)(,)iiiiiiuuvv节点条件：11332244(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)位移函数北京航空航天大学112131411212232422312333433412434444uuuu11234212343123441234uuuu11223344111111111111141111uuuu11223344111111111111141111vvvv同理可得：北京航空航天大学123411223344123411223344((,),(,))((,),(,))uxyNuNuNuNuvxyNvNvNvNv132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN11221234312343440000((,),(,))0000((,),(,))uvuvNNNNuxyuNNNNvxyvuv((,),(,))(,)exyuNq北京航空航天大学单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示。形状函数用自然坐标给出。(,)(,)exNx((,),(,))(,)(,)exyuuNq132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN北京航空航天大学1234123400000(,)00000xNNNNNNNNyyxB((,),(,))(,)(,)(,)eexyεuNqBq132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNNiiNxNy?北京航空航天大学1iiiiiiiiiiiiiiiNNNxyxyNNNxyxyNxyNNxxNNNxyyyNNxNyJJ*1iNJJJ偏导数变换xyxyJ雅可比矩阵：北京航空航天大学11111111((,),(,))((,),(,))(,)(,)(,)TeTeSxyxytdxdytddddKBDBBDBJFJ111111TTeepTTeeepbSebepdVdAtddtCdPNbNpPPPNbJPNp1/222xyC在常数的面上北京航空航天大学四边形等参单元形状要求0J不能有重节点不能出现内角大于180o的情况内角最好介于30o-150o之间（有限变形的情况）避免出现北京航空航天大学三维问题六面体等参单元的计算公式(,)(,)exNx(,)(,)(,)exyuuNq83北京航空航天大学xyzxyzxyzJ(,)(,)(,)exyuuNq(,,)(,,)BN北京航空航天大学111111TTeedVdddKBDBBDBJ1111TTepepSdACddPNpNpTTeepeeepbSdVdAPNbNpPP111111TTeebdVdddPNbNbJ在常数的面上1/2222yzyzzxzxxyxyC北京航空航天大学采用等参单元的优点借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母单元内进行，相关运算大大简化。不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序。北京航空航天大学4.2数值积分数值积分及其基本思想Newton-cotes积分公式Gauss-Legendre积分公式等参元中积分阶次的选择北京航空航天大学关于数值积分计算刚度矩阵及等效节点载荷列阵的元素时，往往涉及到复杂函数的定积分，在有限元分析中广泛采用数值积分方法。数值积分方法是一种近似的方法。一个函数的定积分可以通过n个结点的函数值的加权组合来表示111111TTeeeeeedVdddKBDBBDBJ1()()nbiiaifdAf北京航空航天大学数值积分的基本思想(),(),(,1,2,...,)()(),)():(),((1,2,...,)())?(),I()()baiiibbaafdninffinfddff对于一个定积分I构造一个多项式使得在区间内个点上与相同即(则用来近似代替积问题是如何构造多项式使其对有最好分式变的逼近为北京航空航天大学求积公式—插值法1101111111(1,2,...,),(),)=()()()(1)1,(),()0,innniinininjnniijjijjininLagrangelfaaalnLagrangeijllij基于区间内个结点将多项式取为插值多项式即(其中为阶插值函数显然11111)()()(),I()()()()()()()iinbbbniiaaainnbniiiiaiifffddlfdldfAf(则用来近似代替积分式变为至少具有n-1次代数精度北京航空航天大学Newton-cotes求积公式如果n个结点等距分布，则前面的插值型求积公式称为Newton-cotes求积公式。Newton-cotes求积公式具有n-1次代数精度几个常用求积公式梯形公式，n=1Simpson公式，n=2(1,2,...,)iin()()()2babafxdxfafb()()4()()62babaabfxdxfaffb北京航空航天大学Gauss-Legendre求积公式n个插值结点非等距分布结点和积分权系数可以查表111())(niiiAfdf北京航空航天大学高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果。北京航空航天大学等参元高斯求积公式的一般形式北京航空航天大学等参元中积分阶次的选择积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工作量。