第2章-随机过程的基本概念

随机过程的基本概念第二章随机过程的基本概念及定义随机过程的统计描述平稳随机过程随机过程的联合分布和互相关函数随机过程的功率谱密度典型的随机过程本章内容本章学习要点：（1）要注意对基本概念的理解（2）要注意运用随机变量的理论（3）掌握统计特性的计算方法（4）掌握平稳随机过程相关函数与功率谱的特性本章是本课程的基础和核心2014-05-284第二章随机过程的基本概念2.1随机过程的基本概念及定义自然界变化的过程可以分为确定过程和随机过程两大类。确定过程每次试验观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定的函数，具有确定的变化规律。随机过程每次试验观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，试验前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。连续时间的随机过程：X(t).离散时间随机过程（随机序列）：X(n).2.1随机过程的基本概念及定义2.1随机过程的基本概念及定义举例2014-05-286正弦信号调制信号接收机噪声鸟叫声例2.1：随机相位信号其中与为常数，为上均匀分布的随机变量对于任意样本值,有2.1随机过程的基本概念及定义01020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-1010()cos()XnAn0(,)cos()iiixnAnA0(-,)i随机相位信号—许多样本函数的集合;也即一族不同的时间序列样本函数0{(,)cos()}iiixnAn例2.2：接收机噪声用示波器来观察记录某个接收机输出的噪声电压波形2.1随机过程的基本概念及定义050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505接收机噪声随时间变化的随机变量----随机变量的集合1()xt第一次观测2()xt第二次观测3()xt第三次观测4()xt第四次观测随机过程的直观解释:对随机相位信号或噪声信号作一次观测相当于做一次随机试验，每次试验所得到的观测记录结果xi(t)是一个确定的函数，称为样本函数，所有这些样本函数的全体构成了随机过程.2.1随机过程的基本概念及定义随机过程定义设随机试验的样本空间为，对其每一个元素都以某种法则确定一个样本函数，由全部元素所确定的一族样本函数称为随机过程，简记为。随机过程是一组样本函数的集合，或者也可以看成是一组随机变量的集合。2014-05-2810E{}Se(1,2,...)iei(,)ixte{}e(,)Xte()Xt回忆随机变量随机过程S●1(,)Xte2(,)Xte3(,)Xte●●3e2e1e随机过程则是将样本空间的元素映射成一个随时间变化的函数(,)Xte时间t和随机试验结果的二维函数2.1随机过程的基本概念及定义不同情况的意义：当固定，固定时，是一个确定值。当固定，可变时，是一个随机变量。当可变，固定时，是一个确定的时间函数。当可变，可变时，是一个随机过程。2014-05-2812(,)Xtete(,)Xtete(,)Xtete(,)Xtete(,)Xte随机过程的分类2.1随机过程的基本概念及定义分类状态时刻连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散2.1随机过程的基本概念及定义例2.3：半二元传输信号用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机过程2014-05-2814()Xt()第次投出正面第次投出反面-1nXt(n-1)TtT1n0510152025-101时间-秒(假定T=1秒0510152025-101时间-秒(假定秒）半随机二元传输信号离散型随机过程（时间连续，状态离散）例2.4随机游动(RandomWalk)--DTDV•分子在液体或气体中的运动轨迹；•搜寻食物的动物的搜寻路径；•股票价格的变化•赌徒的财务状况•….广泛应用于计算机、物理学、生态学、经济2.1随机过程的基本概念及定义例2.4：随机游动设表示质点在时刻与原点的距离，如果，那么2014-05-2816()Xntn(1)Xnk1()1kXnk质点正向移动一个距离单元质点向移动一个距离单元反0pqxn01234567()Xn离散随机序列（时间离散，状态离散）有关随机游动，参考Wikipedia伪随机序列在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程。例2.5：2.1随机过程的基本概念及定义(1)(11()11117)(mod32768)()()/32768ynynxnyn05010015020000.20.40.60.812.1随机过程的基本概念及定义可预测过程例2.1所描述的随机相位信号，是由一簇正弦信号构成的，它的样本函数是由随机变量的样本值完全确定，具有可预测性。不可预测过程：如例2.2接收机噪声电压信号不能用有限的参数加以描述，或者说样本函数的未来值是不能根据它的过去值来确定。2014-05-2819第二章随机过程的基本概念2.2随机过程的统计描述•概率分布与概率密度一维分布、二维分布、N维分布•数字特征均值、方差、相关函数•特征函数2.2.1随机过程的概率分布随机过程的概率分布一维概率分布：若的一阶导数存在，定义一维概率密度：随机序列：2014-05-2820})({),(xtXPtxFX(,)XFxtxtxFtxfXX),(),((,){()}XFxnPXnx(,)(,)XXFxnfxnx2.2.1随机过程的概率分布例2.6:设随机振幅信号，其中是常数，是均值为零，方差为1的正态随机变量，求时的概率密度。解法一：由可知2014-05-2821tYtX0cos)(0Y002,32,0t0,(0)tXY221(,0)2xXfxe2.2.1随机过程的概率分布（续）2014-05-2822023t02132XY202(,)()3XYyxfxfyJ2J222021(2)2(,)exp2322xXxfxe2.2.1随机过程的概率分布（续）2014-05-2823一般而言,如果,则00,022tX0,()2Xfxx0()cosXtYt0cos0t01cosJt0cos(,)()XYxytfxtfyJ20011(,)exp2cos2cosXxfxttt2.2.1随机过程的概率分布（续）如果，则2014-05-28240cos0t()Xt001,()2Xfxkx2.2.1随机过程的概率分布解法二tYtX0cos)(2132coscos0t02132XY023t0)(21))32((0YEXE41)(41))32((0YDXDbXaEYE)()()()(2XDaYD若X是随机变量，a,b是任意确定实数，令Y=aX+b，则22202412exp2121)32,(xXexxf2.2.1随机过程的概率分布二维概率分布：及为同一随机过程上的随机变量二维概率密度：2014-05-28261()Xt2()Xt12121122(,,,){(),()}XFxxttPXtxXtx21212121212(,,,)(,,,)XXFxxttfxxttxx2.2.1随机过程的概率分布多维分布与二维类似N维概率分布：N维概率密度：2014-05-282712121122(,,,,,,,){(),(),,()}XNNNnFxxxtttPXtxXtxXtxLLL1212121212(,,,,,,)(,,,,,,,)NXNNXnNNFxxxtttfxxxtttxxxLLLLL例2.7：设随机相位信号其中，且取值概率各为1/2，求，时的一维和二维概率分布。解：本题的随机过程只有两个样本函数,且两个样本函数都具有确定的形式,是一种可预测的随机过程。2.2.1随机过程的概率分布()cos(/10)Xnn)2/,0{10n210n2.2.1随机过程的概率分布（续）它的两个样本函数为这个过程在任意的时刻都只有两个可能的取值，所以它是一个离散型随机过程。对于离散型随机过程，只要确定了它的概率分布列就可以确定它的概率密度(一串冲激函数)。2014-05-2829()cos(/)()cos(//)xnnxnn12101022.2.1随机过程的概率分布（续）一维分布列2014-05-2830X(0)10P(x1,0)1/21/2X(10)-10P(x2,10)1/21/201(,)Xfx0x-10(,)Xfx10x111(,0)0.5(1)0.5()Xfxxx222(,10)0.5(1)0.5()Xfxxx（续）二维分布列2.2.1随机过程的概率分布10-11/20001/21()Xn2()Xn(1,-1)01x2x),,,(2121ttxxfX1/21/2{(0)1,(10)1}{(0)1}{(10)1(0)1}PXXPXPXX2.2.1随机过程的概率分布（续）二维概率密度二维概率分布2014-05-283212121211(,,0,10)(1,1)(,)22fxxxxxx(,,,){(),()}XxxFxxPXxXx121212010010随机过程的数字特征均值：方差：2.2.2随机过程的数字特征dxtxxftXEtmXX),()}({)(})]()({[)(22tmtXEtXX)()}({22tmtXEX随机过程的均值是时间t的函数，也称为均值函数，统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。随机过程的均值可以直观地理解为在t时刻所有样本函数取值的一取值中心，它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律。均值的物理意义方差的物理意义方差反映了一个随机过程的取值相对于均值起伏的大小,一个起伏较大的过程方差也大.对于随机序列,22(){[()()]}XXnEXnmn均值与方差的物理意义：X(t)-----单位电阻上的电压X2(t)/1-----消耗在单位电阻上的瞬时功率[X(t)-mx(t)]2/1-----消耗在单位电阻上的瞬时交流功率E{[X(t)-mx(t)]2/1}-----消耗在单位电阻上的瞬交流功率的统计平均值222{()}()()XXEXttmt表示消耗在单位电阻上的总的平均功率。平均交流功率。平均直流功率。mx(t)=mx为常数----噪声电压中直流分量相关函数：反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字特征举例：两个均值和方差大致相同的随机过程，相关性差异很大2.2.2随机过程的数字特征212121212121),,,()}()({),(dxdxttxxfxxtXtXEttRX2.2.2随机过程的数字特征协方差函数也是相关性的描述如果，则称和不相关。如果，则称和相互正交如果，则称随机过程在和时刻是独立的。2014-05-2838)]}()()][()({[),(221121tmtXtmtXEttKXXX0),(21ttKX)(1tX)(2tX12(,)0XRtt)(1tX)(2tX),(),(),,,(22112121txftxfttxxfXXX1t2t离散随机过程数字特征均值方差自相