第二章矩阵(1)

1第二章矩阵I重要知识点一、矩阵1、定义由nm个数ija),2,1;,,2,1(njmi排成m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为nm矩阵，简记为nmijaA)(，当nm时，A也称为n阶方阵。2、几类特殊矩阵（1）单位矩阵：主对角线上都是1，其余全为0的方阵，记为E。（2）对角矩阵：除主对角线外其余全为0的方阵.kE叫数量矩阵。（3）三角矩阵：主对角线上（下）方全为0的方阵称为下（上）三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。（4）矩阵的转置：将矩阵nmijaA)(的行与列的元素位置交换而形成的矩阵叫作A的转置，记为mnjiTaA)(或mnjiaA)(/。（5）对称矩阵与反对称矩阵：设nnijaA)(，若AAT，则称A为对称矩阵，若AAT，则称A为反对称矩阵。（6）正交矩阵：设nnijaA)(，若EAAAATT，则称A正交矩阵。（7）可交换矩阵：设A、B是同阶方阵，且BAAB。（8）分块矩阵：用水平和竖直虚线将矩阵A中的元素分割成若干小块，而形成的以这些小块为元素的矩阵。23、矩阵的运算（1）矩阵的相等：设nmijaA)(，nmijbB)(，若ijijba（mi,,2,1，),,2,1nj，则称A与B相等，记为BA。（2）矩阵的和与差：设nmijaA)(，nmijbB)(，定义nmijijbaBA)(（mi,,2,1，),,2,1nj。（3）数乘矩阵：设nmijaA)(，定义nmijkakA)(。矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律：①交换律ABBA。②结合律)()(CBACBA。③分配律kBkABAk)(，lAkAAlk)(。（4）矩阵的乘法：设smijaA)(，nsijbB)(，定义nmijcBA)(，其中sjisjijiijbababac2211。矩阵乘法运算满足下列运算规律：①结合律)()(BCACAB。②分配律BCACCBA)(，CBCABAC)(。③数与乘积的结合律BkAkBAABk)()()(。（5）方阵的幂：设nnijaA)(，定义相乘）个AkAAAAk(。方阵的幂满足下列运算规律：lklkAAA，kllkAA)(。（6）分块矩阵的运算：同阶矩阵分块相同才可相加减，在进行分块矩阵乘法时，应当注意前一个列的分法必须与后一个3行的分法相同。二、逆矩阵1、逆矩阵的定义：设nnijaA)(，若存在n阶方阵B，使得EBAAB，则称A为可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵，记1AB。2、可逆矩阵的性质：（1）若A可逆，则1A唯一。（2）矩阵A可逆的充要条件是0A。（3）若A可逆,则1,AAT均可逆,且有TTAA)()(11,AA11)(。（4）若A，B为同阶可逆矩阵，则AB也为可逆矩阵，且有111)(ABAB。（5）若A可逆,且0k，则AA11，111)(AkkA。3、伴随矩阵设nnijaA)(，ijA为元素ija的代数余子式，定义nnjiAA)(*即：nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*为A的伴随矩阵。4、矩阵的初等变换与初等矩阵（1）矩阵的初等变换：①交换矩阵的某两行（列）；②以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）；4③把矩阵的某一行（列）k倍加到另一行（列）；（2）初等矩阵：对单位矩阵施行一次第)3,2,1(ii种初等变换后而得到的矩阵叫第i种初等矩阵。初等矩阵为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为初等矩阵。即：),(),(1jiPjiP，))(())((11ciPciP，))(,())(,(1kjiPkjiP。（3）初等矩阵与初等变换的关系：对矩阵A左（右）乘第)3,2,1(ii种初等矩阵，就相当于对A的行（列）进行了一次同种的初等变换。（4）可逆矩阵与初等矩阵的关系：任何一矩阵A总可以经过有限次的初等变换化为OOOEr，这也称为A的等价标准形。矩阵A可逆A可以表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。5、矩阵的秩及有关矩阵秩的结论（1）矩阵的秩：矩阵A的非零子式最高阶数叫矩阵A的秩，记为)(Ar。由于初等变换不改变矩阵的秩，故)(Ar等于A的等价标准形OOOEr中的r。（2）有关矩阵秩的重要公式与结论①)()()(AArArArTT。②若OA，则)(Ar1，只有零矩阵的秩为零。③)()()(BrArBAr。5④)}(),(min{)(BrArABr。⑤若A可逆，则)()()(BrBArABr。⑥设nmijaA)(，snijbB)(，若OAB，则nBrAr)()(。三、本章的的重要性质及公式1、转置矩阵的性质（1）AATT)(；（2）TTkAkA)(；（3）TTTBABA)(；（4）TTTABAB)(。2、逆矩阵的性质（1）AA11)(；（2）0,1)(11AA；（3）TTAA)()(11；（4）111)(ABAB。3、伴随矩阵*A的性质（1）TTAA)()(**；（2）*11*)()(AA；（3）EAAAAA**（最常用）；（4）1*nAA；（5）)3()(2**nAAAn；（6）***)(ABAB。4、分块矩阵的性质（BA,均为可逆矩阵）（1）111BOOABOOA；（2）OABOOBAO111；（2）11111BOCBAABOCA；（4）11111BCABOABCOA；II题型归纳及思路提示题型1有关矩阵运算的命题（要熟悉矩阵运算的规律）6例1设BA,为n阶对称矩阵，则下面结论不正确的是。（1）BA也是对称矩阵；（2）AB也是对称矩阵；（3）nmBA也是对称矩阵；（4）TTABBA也是对称矩阵。例2设A为n阶方阵，k是非零常数，则*)(kA。（1）1nAk；（2）1nAk；（3）1)1(nnnAk；（4）11nnAk；例3设CBA,,均为n阶方阵，且ECABCAB，则222CBA。（1）E3；（2）E2；（3）E；（4）O；题型2有关对称矩阵与反对称矩阵的证明题例4证明：任何一个方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。题型3求矩阵的高次幂三种类型：（1）维列向量为，其中nAT,的类型；（2）已知矩阵BP,，且BAPP1，求mA。（3）根据矩阵的特点进行归纳或分解后再进行计算。例5设426213213A，求nA。例6设100010101A，求nA。例7设101020101A，而2n为正整数，则12nnAA。7题型4求矩阵的行列式要考核的不单纯是行列式的计算，而是通过给出与行列式相关联的方阵、逆矩阵、伴随矩阵及向量在指定运算下所构成的行列式的计算，以达到考核这些概念的运算性质及行列式的性质等目的。例8设A为三阶方阵，81A，求*18)31(AA。例9设33)(ijaA，ijA为ija的代数余子式，且0,11aaAijij，求A。例10设nnA1000000001100210001000，求A的所有元素代数余子式之和。例11设BA,为n阶正交矩阵，且1/BA，证明0BA。例12设BA,为n阶方阵，试证明：EABBEEA。题型5求逆矩阵与解矩阵方程求逆矩阵的主要方法：（1）*11AAA；（2）利用初等变换求逆；（3）对于零特别多的矩阵采用分块矩阵求逆；（4）利用定义EAB求逆，有：BA1。解矩阵方程的主要方法：先化简为：BAX或BXA或BAXC，再求出BAX1或1BAX或11BCAX（要求CA,均可逆）。8例13设0000000000000000121nnaaaaA，其中niai,,2,1,0，求1A。例14已知矩阵A满足关系式OEAA322，求1)4(EA。例15设矩阵A的伴随矩阵8030010100100001*A，且EBAABA311，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B。例16设A为n阶方阵，且有自然数m，使OAEm)(，证明A可逆。题型5求矩阵的秩及与秩有关的命题例17设矩阵kkkkA111111111111，且3)(Ar，则k。例18设矩阵A的元素均为整数，证明：1A的元素均为整数当且仅当1A。例19设nmijaA)(，snijbB)(，证明：若OAB，则nBrAr)()(。例20设BA,均为n阶方阵且1BABA，证明：nABErABEr)()(。题型6关于矩阵可逆的命题例21设A为nm实矩阵，mn，且方程组bAx有唯一解，证明：AAT可逆。例22设n维向量EaaaT;0,),0,,0,(为n阶单位矩阵，矩阵9TTaEBEA1,，且1AB，求a。例23设CBA,,均为n阶方阵，0AE，如果CAAC，ABEB，求证：ECB。题型7与伴随矩阵有关的命题的证明（主要用EAAAAA**）例24设A为n阶可逆矩阵，且EAA2，证明：A伴随矩阵AA*。例25设A为n阶方阵)3(n，证明：AAAn2**)(。例26设BA,均为n阶可逆矩阵，证明：***)(ABAB。例27设BA,均为n阶方阵，**,BA分别为BA,对应的伴随矩阵，分块矩阵BOOAC，则C的伴随矩阵*C。（1）**BBOOAA；（2）**AAOOBB；（3）**ABOOBA；（4）**BAOOAB；III本章小结矩阵是线性代数的核心内容，矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的的始终，因此矩阵是考试重点内容之一，一般出填空题及计算题。矩阵方程、求逆矩阵及伴随矩阵是出题最多的几个考点。所以矩阵的运算、矩阵的初等变换、求逆矩阵、伴随矩阵及矩阵的秩等知识点都应当认真仔细地复习。