计算机图形学教学资料第9讲-5-1二维坐标变换

2020/3/41第五章图形变换及显示InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/42为什么要进行图形变换光栅图形工程师绘图工程师甲工程师乙图形定义空间:屏幕？？？的解决：图形变换InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/43坐标变换的作用bkxycx例：InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/44坐标变换它们的关系是：的两组基线性空间维是，，与，若,},{},,{2121Vnnn的过渡矩阵。到为由基称的基变换。，称其为},,,{},,,{AV),,,(),,,(21212121nnnnA换的坐标变换。称其为相应于上述基变，则：及别是关于这两组基的坐标分中向量设TnnnnAxxxyyyyyyxxxV))(,,,(),,,(),,,(),,,(121212121InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/45几何变换基础：齐次坐标(homogeneouscoordinate)0),,,(),,(0),,(),(hhhzhyhxzyxhhhyhxyx1h通常令InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/46续:xyW例:在XYW齐次坐标空间中,点P(X,Y,W)在W=1平面上的投影是(X,Y)PInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/473D变换的代数表示10001'34333231'24232221'14131211zyxazayaxazazayaxayazayaxax),,(:),,('''zyxzyx；变换后变换前：InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/48矩阵表示1144434241343332312423222114131211'''zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyx引入齐次坐标后[0001]InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/49坐标系固定，图形变换说明：变换的两种实现方式图形固定，坐标系变换在固定坐标系下对点集的变换，等价于对该坐标系进行相应的逆变换InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/410续证明：假设固定坐标系下进行的变换表示为矩阵T1，变换前后的点集记为A，B.则B=AT1,.若图形固定不变，则变换前后需采用不同的基底（分记为X和X’）表示图形即BX’=AX,因此，X’=T1-1XInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/411本章内容二维几何变换二维观察流程三维几何变换投影变换三维显示流程如何使用户坐标系下定义的图形在屏幕上显示出来InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/412第一节二维几何变换平移变换旋转变换缩放变换反射变换错切变换复合变换坐标系变换变换的光栅方法InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/413变换的表示:变换矩阵232221'131211'cycxcycycxcx11001232221131211''yxccccccyx旋转、比例、错切平移整体比例投影InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/414平移变换（1）平移指将物体沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位，即称为平移向量其中Tyxyxtttyytxx),(''平移变换效果演示yxttyxyx''该式可写成向量形式：InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/415平移变换（2）采用齐次坐标方式描述为：PTyxttyxPyx~1.10010011'''称为平移矩阵。TInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/416平移变换（3）图形的平移：刚体变换物体上各点做同样的平移操作图形关键点的平移及图形重定义逆变换：10010011yxttTInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/417旋转变换（1）二维旋转是将物体沿平面内的圆弧路径重定位。旋转变换效果演示•需要指定旋转角和旋转基准点的位置：•旋转角的正值定义基准点逆时针旋转•负值则以顺时针方向旋转物体•默认情况下以坐标原点为旋转基准点InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/4181000cossin0sincos)(R绕坐标原点的旋转变换（2）PRP)('使用齐次坐标表示为：其中：称为旋转变换矩阵R),(yx),(''yx逆变换:)(RInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/419绕任意基准点的旋转变换（3）),()(),(0000yxyxTRT),(yx),(''yx，则变换可复合实现设基准点为：),(00yx),(yx),(''yx),(00yxPTPyx),('00''),('''00PTPyx),(yx),(''yx),(00yx')(''PRP),(00yxInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/420图元的旋转变换（4）旋转变换是刚体变换图元上各点旋转同样角度：旋转定义点并重定义图元InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/421缩放变换（1）缩放变换是指对点的X，Y坐标值进行缩放。变换的表达式为：1000000'yxssSPSP，缩放效果演示其中sx,sy称为缩放系数，可取任何正数;S称为缩放矩阵。InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/422缩放变换（2）缩放变换可使物体产生重定位，如右图所示缩放比例不同，定位距离也不同当缩放系数大于1时，物体被放大，否则缩小；yxss当时，物体发生等比变换，否则发生差值缩放，产生变形。InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/423指定缩放固定点的缩放变换（3）缩放固定点：缩放后不改变位置的点，记为),(refrefyx由平移变换、相对于原点的缩放及逆平移变换复合而成InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/424指定缩放固定点的缩放变换（4）1100)1(0)1(01''yxsyssxsyxyrefyxrefx变换公式为：PTSTPrefrefyxrefrefyxssyx),(),(),('InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/425图元的缩放变换（5）多边形缩放顶点，由新顶点定义多边形圆（中心对称图形）缩放半径，并在原圆心绘制圆给定定义参数的图形对定义参数进行变换并重定义图元InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/426反射变换（1）是产生物体镜象的一种变换，也称为对称变换。变换的一般形式为：1100001''yxebdayxInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/427反射变换（2）关于X轴的反射变换：•a=1，b=d=0，e=-1；11000100011''yxyxInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/428反射变换（3）关于Y轴的反射变换：a=-1，b=d=0，e=1；11000100011''yxyxInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/429反射变换（4）关于原点的反射变换：a=-1，b=d=0，e=-1；11000100011''yxyx等价于绕原点进行180度的旋转变换。InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/430反射变换（5）关于x=y轴的反射变换：a=e=0，b=d=1；11000010101''yxyx关于x=-y轴的反射变换：a=e=0，b=d=-1；11000010101''yxyxInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/431反射变换（6）关于任意轴的对称变换TRSRTX11InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/432错切变换（1）定义：保持图形上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值关于该坐标值呈线性变化。变换矩阵的一般形式11''bxydyxyxb=0或者d=011000101yxbdInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/433错切变换（2）相对于X轴的错切:b=01100010011''yxdyx错切效果图依赖轴方向轴X方向的错切效果演示InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/434错切变换（3）相对于y=Yref的错切),0),0('refrefYTAYTA（错切错切错切效果图110001011''yxYrefddyxInteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/435错切变换（4）相对于Y轴的错切:d=01100010011''yxbyx错切效果图Y方向的错切效果演示InteractiveComputerGraphics-交互式计算机图形学2020/3/436错切变换（5）相对于x=Xref的错切110010011''yxXrefbbyx错切效果图)0,)0,('refrefXTBXTB（错切错切InteractiveComputerGraphics-交互式