常微分方程基本知识点

常微分方程基本知识点第一章绪论1.微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！（重要）例：03)(22ydxdyxdxdy（1阶非线性）；xedxydy22sin。2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主）（习题1，2，9题）例：曲线簇cxxy3满足的微分方程是：__________.第二章一阶方程的初等解法1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要）2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要）3.线性非齐次方程的常数变易法；4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____ycuos___________后，方程1cossin'xyyy可化为___线性_____方程；(2).经变换_____yxu32____________后，方程1)32(1'2yxy可化为____变量分离__方程；(3).方程0)1(222dyedxyexxx为：线性方程。(4).方程221'yxy为：线性方程。5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子；6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要）第三章一阶方程的存在唯一性定理1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h；2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k次近似解！（参见书上例题和习题3.1的1，2，3题）第四章高阶微分方程1.n阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质；2.n阶线性方程解的Wronskey行列式与解的线性相关与线性无关的关系；3.n阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要）4.n阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）；5.n阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要）例题：ttexx24，确定特解类型？（习题4.2相关题目）6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要）7.其他如Euler方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。第五章线性微分方程组1.n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的等价关系（重要）；例题：习题5.1第2题a）、b）题。2.线性微分方程组的解的存在唯一性定理，解的结构理论（熟悉，了解）；3.解矩阵，基解矩阵的概念和性质（重要）；4.非齐次线性微分方程组的常数变易公式（熟悉、不要求算）；5.常系数线性微分方程组基解矩阵（eAt）的求法(至少掌握一种方法)。（重要）6.习题5.2后练习题