十字相乘法和分组分解(经典教学课件)

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)型式子的因式分解观察与思考)3)(2(xx（1）652xx反之652xx)3)(2(xx23232xxx（2）)1)(4(aa)1(442aaa432aa反之432aa)1)(4(aa)3)(2(aa类似的（3）)3()2(232aaa652aa反之652aa)3)(2(aa规律：∵(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)⑴x2+7x+12例1把下列各式分解因式=(x+3)(x+4)⑵y2-8y+15=(y-3)(y-5)⑶x2–3x-4=(x+1)(x-4)⑷y2+2y-8=(y-2)(y+4)⑴x2+7x+12=(x+3)(x+4)方法:先把常数项拆分成两个有理数相乘,再看这两个有理数的和是否恰好等于一次项的系数.(不仅要验证绝对值,更要验证符号)当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一定同号,符号与一次项系数相同。当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异号;⑵y2-8y+15=(y-3)(y-5)⑶x2–3x-4=(x+1)(x-4)⑷y2+2y-8=(y-2)(y+4)你能找到什么规律吗?绝对值大的数与一次项系数同号把下列各式分解因式(1)x2-3x+2(2)m2-3m-28(3)y2+10y+25(4)a2-4a-12(5)b2-b-2=(x+1)(x-2)=(m+4)(m-7)=(y+5)2=(a+2)(a-6)=(b+1)(b-2)把下列各式分解因式(1)x2-7x-8(2)m2-3m-10(3)y2+4y+4(4)a2-2a-8(5)b2-2b-3=(x+1)(x-8)=(m+2)(m-5)=(y+2)2=(a+2)(a-4)=(b+1)(b-3)把下列各式分解因式(1)x2-5x+4(2)m2-5m-6(3)y2-8y+16(4)a2+4a-21(5)b2+15b-16=(x-1)(x-4)=(m+1)(m-6)=(y-4)2=(a-3)(a+7)=(b-1)(b+16)把下列各式分解因式(1)x2-4x-5(2)m2+5m-6(3)y2+8y-9(4)a2-12a+36(5)b2-7b-18=(x+1)(x-5)=(m+6)(m-1)=(y+9)(y-1)=(a-6)2=(b+2)(b-9)把下列各式分解因式(1)x2-4xy-5y2(2)m2+5mn-6n2(3)y2-8xy+12x2(4)a2-12ab+36b2(5)b2-7bx2-18x4想一想:=(x-y)(x-5y)=(m+n)(m-6n)=(y-2x)(y-6x)=(a-6b)2=(b+2x2)(b-9x2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)小结:由多项式乘法法则反过来用就得到一个因式分解的方法这个方法也称为十字相乘法即:只要一个形如x2+mx+n的二次三项式的常数项可以分解成两个有理数相乘,且这两个有理数的和恰好等于一次项的系数,这个多项式就能用十字相乘法分解因式把下列各式分解因式(1)(x+y)2-4(x+y)-5想一想:⑵(m+n)2-5(m+n)+6=(x+y+1)(x+y-5)=(m+n-2)(m+n-3)把下列各式分解因式(3)y2-2y(x-1)-15(x-1)2想一想:=[y+3(x-1)][y-5(x-1)]=(y+3x-3)(y-5x+5)想一想:(4)a2-12a(b+c)+36(b+c)2=[a-6(b+c)][a-6(b+c)]=(a-6b-6c)2把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2-z2（2）ab+a+b+1解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2=(x+y)2-z2=(x+y+z)(x+y-z)（2）原式=(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)实践与探索因式分解：⑴2)2(aaa解:原式=)2()2(aaa)1)(2(aa因式分解：⑵)(mnpnm解:原式=)()(nmpnm)1)((pnm实践与探索典例讲析例1：因式分解：⑴bcacaba2解:原式=)()(bacbaa))((caba这个多项式各项既没有公因式,又不能直接运用公式,所以设法把原多项式的前两项与后两项分成两组,在前两项提出a,后两项提出c,发现两组都含有因式(a-b),再继续用提取公因式法分解因式分组.这种分解因式的方法叫做分组分解法.典例讲析例1：因式分解：⑵bxbyayax5102解:原式=)5()5(2yxbyxabybxayax5102)2)(5(bayx用分组分解法分解因式,一定要想想分组后能否继续进行分解因式.练习1因式分解：⑴babam)(5)()(5babam)15)((mba)(422).2(mnxnm)(4)(2nmxnm)21)((2xnmzxyzxy6834).2()34(2)34(zxzxy)2)(34(yzx933).3(23xxx)3(3)3(2xxx)3)(3(2xx典例讲析例2：因式分解：⑴ayaxyx22解:原式=这个多项式的前两项用平方差公式分解后与后两项有公因式(x+y)可继续分解,这也是分组分解法中常见的情形.)())((yxayxyx))((ayxyx典例讲析例2：因式分解：⑵2222cbaba解:原式=如果把一个多项式分组后各组都能分解因式,且在各组分解后,各组之间又能继续分解因式,那么,这个多项式就可以用分组分解法分解因式.22)(cba))((cbacbayxyx22).1(22)(2))((yxyxyx)2)((yxyx练习2分解因式:22962).2(baba)3)(3()3(2ababba)32)(3(abba22961).3(baab)96(122baba2)3(1ba)31)(31(baba练习：已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b的值.解:∵a2+b2-6a+2b+10=0∴a2-6a+9+b2+2b+1=0∴(a-3)2+(b+1)2=0∴a=3,b=-1练习3：因式分解112222baba、11222bba1122ab1111aabb分解因式要分解到不能继续分解因式为止.练习：因式分解xyyxyx3996222、yxyxyx939622yxyx3332333yxyx1.若,则