2008年高考数学全国一卷试题和答案

2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VRn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn，，，一、选择题1．函数(1)yxxx的定义域为（）A．|0xx≥B．|1xx≥C．|10xx≥D．|01xx≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）3．在ABC△中，ABc，ACb．若点D满足2BDDC，则AD（）stOA．stOstOstOB．C．D．A．2133bcB．5233cbC．2133bcD．1233bc4．设aR，且2()aii为正实数，则a（）A．2B．1C．0D．15．已知等差数列na满足244aa，3510aa，则它的前10项的和10S（）A．138B．135C．95D．236．若函数(1)yfx的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称，则()fx（）A．21xeB．2xeC．21xeD．22xe7．设曲线11xyx在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a（）A．2B．12C．12D．28．为得到函数πcos23yx的图像，只需将函数sin2yx的图像（）A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式()()0fxfxx的解集为（）A．(10)(1)，，B．(1)(01)，，C．(1)(1)，，D．(10)(01)，，10．若直线1xyab通过点(cossin)M，，则（）A．221ab≤B．221ab≥C．22111ab≤D．22111ab≥11．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．13B．23C．33D．2312．如图，一环形花坛分成ABCD，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96B．84C．60D．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）13．若xy，满足约束条件03003xyxyx，，，≥≥≤≤则2zxy的最大值为．14．已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为33，MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且3coscos5aBbAc．（Ⅰ）求tancotAB的值；DBCA（Ⅱ）求tan()AB的最大值．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．（Ⅰ）证明：ADCE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．CDEAB21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且BF与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数()lnfxxxx．数列na满足101a，1()nnafa．（Ⅰ）证明：函数()fx在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11nnaa；（Ⅲ）设1(1)ba，，整数11lnabkab≥．证明：1kab．2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案1.C.2.A．3.A.4.D.5.C.6.B.7.D.8.A.9.D．10.D．11.B12.B.13.答案：9．14.答案：2.15.答案：38.16.答案：16.三、17.解：（Ⅰ）由正弦定理得,sinsin,sinsinCBcbCAcacACBBCAAbBa)cossinsincossinsin(coscos,1cottan)1cot(tansincoscossinsincoscossin)sin(cossincossinBAcBAcBABABABAcBAABBA依题设得：.4cottan.531cottan)1cot(tanBAcBAcBA解得（Ⅱ）由（Ⅰ）得tanA=4tanB,故A、B都是锐角，于是tanB0.,43tan41tan3tantan1tantan)tan(2BBBABABA且当tanB=21时，上式取等号。因此tan(A-B)的最大值为43.（18）解法一：（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，由21DECDCDOC知，Rt△OCD∽Rt△CDE，从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD.由三垂线定理知，AD∠CE.（Ⅱ）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC.作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE.故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°.由CE=6，得CF=3。又BC=2，因而∠ABC=60°。所以△ABC为等边三角形。作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。由（Ⅰ）知，CE⊥AD，又CECG=C，故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。).1010arccos(,10103103226310342cos,6,310652)21(,3262222222为所以二面角EADCGECGCEGECGCGECEADDEADDEGEADCDACCG解法二：（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足为O。则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点。以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.设A（0，0，t），由已知条件有C(1,0,0),D(1,2,0),E(-1,2,0),，ADCEtADCE0).,2,1(),0,2,2(所以得AD⊥CE.（Ⅱ）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE.设F（x,0,z），则),,0,1(zxCF).3,0,0(.602.36.45..0),0,2,0(A，ABCFBC，CBCF，CECEF，ABECECEFABE，CFB，BEABBECFBECFBE因此为等边三角形所以又得由所成的角与平面是平面所以又故作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=.||32AD故),33,322,32(G),33,32,35(),33,322,31(GEGC，AD）3，2（1，又.00ADGE，ADGC所以GC与GE的夹角等于二面角C-AD-E的平面角.1010||||,cosGEGCGEGCGEGC由知二面角C-AD-E为arccos(1010).(19)解：（Ⅰ）3).a4(,123)(22判别式axxxf；f(x)0,(x)f）33a-a-，-（,33)1(2是增函数上则在或若aa.)(,0)(）,33aa-（)(,0)(）33aa-,33aa-（222是增函数上在是减函数内在xfxf；xfxf（2）若33a，则对所有Rx都有0)(xf，故此时)(xf在R上是增函数.（3）若,0)(3,0)3(,3xfaxafa都有且对所有的则.)(3上是增函数在时故当Rx，fa（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有当，aa时或33）.2[.23||31333233.)33,33()(2222，aa，a。aa，aaaaaaxf的取值范围是因此由上式解得时当且因此内是减函数在（20）解：记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数.依题意知A2与B2独立..72.02518)(1)(.257525151)()()()()()(.52)(,51)(,511)()(22122122113351224225142151221APAPBPPAAPBAPAPBAAPAPCCCCBPAAAPCAPBAAAⅠ).(4.2512523532,52)()3(53)()2(52)(53)(.3,2)(21213352435341次所以的可能取值为EBP，PBPP，B