一次函数图象的变换

一次函数图象的变换——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率k，我们就可以写出这条直线的解析式”。我们知道：y=kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b)，直线y=kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y=kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y=2x+h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。解：设平移后的直线解析式为y=2x+h点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），将点（1，-1）代入y=2x+h中得：-1=2×1+hh=-3所以平移后直线的解析式为y=2x-3例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0,2）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1,2）。设出平移后的解析式为y=kx+h，根据斜率k=2不变，以及点（1,2）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.易知点（0，-1）在直线y=2x-1上，则此点按要求平移后的点为：(0,-1)平移后得到的点（1,2）在直线y=2x+h上则：2=2×1+hh=0所以平移后的直线解析式为y=2x总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。练习：1、点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是________，直线y2x1向下平移2个单位后的解析式是_____________.2、直线y=2x1向右平移2个单位后的解析式是_____________.3、直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向______平移(填“上”或“下”)____单位长度得到；也可以看作直线y=8x-3______平移(填“左”或“右”)_____单位长度得到．答案：1、（0，-1）；y=2x-12、y=2x-33、上16左221向上平移3个单位向右平移1个单位(,)一次函数图象的变换——对称江苏省兴化市竹泓初级中学225716徐荣圣求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。知识点：1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（x,-y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x,y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（x,-y）在直线y=2x+6上。即：-y=2x+6y=-2x-6所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6.关于直线对称。2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。即：y=2(-x)+6y=-2x+6所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10所以点C（-x+10,y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10,y）在直线y=2x+6上。即：y=2（-x+10）+6y=-2x+26所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。练习：1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为，和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。2、已知直线y=kx+b与直线y=-2x+8关于y轴对称，求k、b的值。答案：1、y=-5x-3;y=x+2分析：设点（x,y）在直线上，则点（-x,y）在关于y轴对称的直线y=5x-3上，所以直线为y=-5x-3;设点（x,y）在直线上，则点（x,-y）在X=5xyy=2x+60l(x,y)ABC关于x轴对称的直线y=-x-2上，所以直线为y=x+2.2、y=2x+8分析：设点（x,y）在直线y=kx+b上，而直线y=kx+b与直线y=-2x+8关于y轴对称，则（-x,y）在直线y=-2x+8上，所以有y=-2(-x)+8,即：y=2x+8所以k=2,b=8一次函数图象的变换——旋转江苏省兴化市竹泓初级中学225716徐荣圣求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标绕着某一点旋转一定角度变化解决问题。知识点：当旋转的角度为180°时，两条直线关于这点成中心对称。设旋转后直线上任一点（x,y），则关于旋转点（m,n）成中心的对称的点为（2m-x,2n-y）,此点在旋转前的直线上。若旋转的角度不是180°，则需根据已知的条件求出两个点的坐标，再用待定系数法求解。例1、已知直线y=6x+6，将直线绕着坐标原点o旋转180°，求旋转后的直线的解析式。分析：直线绕着坐标原点o旋转180°，即绕点（0,0）旋转180°。可设点（x,y）在旋转后的直线上，则点（-x,-y）在直线y=6x+6上，带入就可以求出旋转后的直线解析式。解：设旋转后直线上任一点的坐标为（x,y），由关于原点（0,0）成中心对称的坐标关系，则（-x,-y）在直线y=6x+6上。所以-y=6(-x)+6,即y=-6x+6所以旋转后的直线的解析式为y=-6x+6。例2、已知直线y=-x+8与x轴，y轴分别交于A,B两点。点C在直线y=-x+8上，点C的横坐标为6。将直线绕着C点逆时针旋转一个角度后，交x轴于点D，且CA=CD。求旋转后的直线的解析式。分析：从图中可知，若知道点C和点D的坐标，再用待定系数法就可以求出旋转后的直线的解析式。解：过点C作CE⊥x轴于点E。显然△ACD为等腰三角形。把x=6代入y=-x+8，得y=2，故点C（6,2），E(6,0)。易知A（8,0）,由等腰三角形的性质知D点坐标为（4,0）。旋转后的直线过C、D两点，利用待定系数法可知y=x-4,所以旋转后的直线的解析式为y=x-4。总结：若直线是绕着某一点旋转180°，则设点（x,y）在旋转后的直线上，再根据中心对称求中心对称的点的坐标代入旋转前的直线求出直线的解析式；若旋转一点的角度，可根据已知条件求出两个点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式。练习：1、点（2，-1）关于原点中心对称的点为___________。2、点（-2,3）关于点（1,1）中心对称的点为___________。3、如图，直线y=－43x+4分别交x轴,y轴于点A,B。将△AOB绕点O顺时针旋转90°到△A′OB′的位置。求直线A′B′的解析式。答案：1、（-2,1）2、（4，-1）3、y=43x-3yxABB′A′Oy0xABCDE分析：易知A（3,0），B（0,4）。则OA=3，OB=4由旋转知△AOB≌△A′OB′.∴OA′=OA=3，OB′=OB=4.∴A′(0，-3)，B′(4，0).∴直线A′B′的解析式为y=43x-3