常微分方程总结

（1）概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如：一阶：2dyxdx二阶：220.4dsdt三阶：32243xyxyxyx四阶：4410125sin2yyyyyx一般n阶微分方程的形式：,,,,0nFxyyy。这里的ny是必须出现。（2）微分方程的解设函数yx在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，,,0nFxxxx则yx称为微分方程,,,,0nFxyyy的解。注：一个函数有n阶连续导数→该函数的n阶导函数也是连续的。函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。函数连续定义：设函数yfx在点0x的某一邻域内有定义，如果00limxxfxfx则称函数fx在点0x连续。左连续：000limxxfxfxfx左极限存在且等于该点的函数值。右连续：000limxxfxfxfx右极限存在且等于该点的函数值。在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。函数在0x点连续0000limlimlimxxxxxxfxfxfxfx1、fx在点0x有定义2、0limxxfx极限存在3、00limxxfxfx（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分方程的通解。注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。补充：设12,,nyxyxyx是定义在区间I上的n个函数，若存在n个不全为零的常数（强调存在性，找到一组常数即可）12,,,nkkk，使得当对xI时有恒等式：11223()()0nkyxkyxkyx成立。则称这n个函数在区间I上线性相关。若当且仅当12,,,nkkk全等于零该等式才恒成立。则这n个函数在区间I上就线性无关。例：函数221,sin,cosxx在整个数轴上线性相关。221sincos0xx恒成立。函数21,,xx在任何区间,ab→线性无关21230kkxkx要使恒成立，则1230kkk否则：若123,,kkk不同时等于零，则21230kkxkx最多只有两个x的值能是该式恒成立。对x不具有普遍性。对两个函数12,yxyx而言：12(yxcyx常数）→线性相关12(yxxyx函数）→线性无关定解条件（初始条件）：微分方程的通解中含有任意常数，实际情况→提出确定这些常数的条件。通解→特解一阶微分方程定解条件一般为：00xxyy二阶微分方程定解条件一般为：0000,xxxxyyyy其中000,,xyy都是给定的值。微分方程的解→yx的图形是一条曲线→称作微分方程的积分曲线求微分方程(,yfxy）满足初始条件00xxyy的特解这一问题称作一阶微分方程的初值问题。记作00(,xxyfxyyy）几何意义：求微分方程的通过00,xy的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题：0000,,,xxxxyfxyyyyyy几何意义：求微分方程的通过点00,xy且在该点斜率为0y的那条积分曲线。（4）几种常见的微分方程1、可分离变量的微分方程一般形式形式：(,yfxy）对称形式：,,0pxydxqxydy（,xy都可以看做函数，另一个为自变量）即：,(,0),pxydyqxydxqxy或,(,0),qxydxpxydypxy可分离变量：如果一阶微分方程能写成gydyfxdx的形式。特点：一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx。这样微分方程称为可分离变量的微分方程。例：求解2dyxydx的通解。解：12dyxdxy→12dyxdxy→21lnyxc→通解：221xcxyece2、齐次微分方程一阶微分方程可以化成dyyfdxx的形式。求解：dyyfdxxyuxyux，dyduxudxdxduxufudx11dudxfuux（可分离变量）通解例：解方程22dydyyxxydxdx22dydyyxxydxdx2ydyydyxdxxdx2duduuxuuxudxdx1duxuudx111dudxux111dudxux1lnlnuuxc122ln,lnyuxyuxucuxceyuxyceycx3、一阶线性微分方程若0dypxydx，称为一阶齐次线性微分方程。若dypxyqxdx（0qx），称为一阶非齐次线性微分方程。一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。解0dypxydx的通解如下：可分离变量的一阶微分方程110lndypxydypxdxypxdxcdxy2pxdxycepxdxyce（齐次方程通解）采用积分因子法求dypxyqxdx的一个特解如下：指数因子：pxdxepxdxpxdxpxdxpxdxdydypxyqxepxyqxeeyqxedxdxpxdxpxdxeyqxedxcpxdxpxdxyeqxedxcdypxyqxdx（0qx）的通解为：pxdxpxdxpxdxyceeqxedx例：求解52211dyyxdxx的通解齐次通解：52122110ln2ln111212dyydyydydxxyxcdxxdxxyx1ln22ln12yxc222ln2ln1ln2ln2ln21yxcycx21ycx非齐次特解：2222555111122221111dxdxdxdxxxxxdyyxeyexeyexdxdxx5122ln12ln122111xxeyexdxxyxdx12211xyxdx32212113yxxc通解：3222113yxxc4、伯努利方程形如：ndypxyqxydx当0n时，dypxyqxdx一阶线性微分方程（公式法）当1n时，dypxyqxydxdyqxpxydx可分离变量微分方程求通解过程：1nnndydypxyqxyypxyqxdxdx1111nnynpxynqx作变量代换1nzy111ndznpxynqxdx（积分因子公式法）例：求解2lndyyaxydxx的通解。（答案：2ln12ayxcx）5二阶线性微分方程注：表示导数写法dyydx，22dyydx，y，4y，ny。形如：22dydypxqxyfxdxdx若0fx时，220dydypxqxydxdx称为：二阶线性齐次微分方程。若0fx时，22dydypxqxyfxdxdx称为：二阶非齐次微分方程。推广：n阶线性微分方程111nnnnyaxyaxyaxyfx线性微分方程解的结构：对220dydypxqxydxdx定理1：如果函数1yx和2yx都是220dydypxqxydxdx的两个解，则1122ycyxcyx也是该方程的解。其中1c，2c都是任意常数。证明：11221122+ycyxcyxcyxcyx1yx是原方程的解，则：1110yxpxyxqxyx1111110cyxpxcyxqxcyx同理2222220cyxpxcyxqxcyx1122112211220cyxcyxpxcyxcyxqxcyxcyx、得证：1122ycyxcyx是220dydypxqxydxdx的解。定理2：如果函数1yx和2yx都是220dydypxqxydxdx的两个线性无关的特解则1122ycyxcyx（其中1c，2c都是任意常数）就是原方程的通解。例：0yy解：22121220010,cossindyyyyjycxcxdx可验证：1cosyx和2sinyx是0yy的两个解21sintancosyxxyx，线性无关定理3：设yx是二阶非齐次线性微分方程22dydypxqxyfxdxdx的一个特解，且Yx是二阶齐次线性微分方程220dydypxqxydxdx的通解。则yYxyx是二阶非齐次微分方程22dydypxqxyfxdxdx的通解。定理4：设二阶非齐次微分方程22dydypxqxyfxdxdx的右端fx是两个函数之和，即12()()fxfxfx。形如2122()()dydypxqxyfxfxdxdx，且1yx与2yx分别是212()dydypxqxyfxdxdx和222()dydypxqxyfxdxdx的特解，则12yxyx就是原方程的特解。（解的叠加原理）例：已知1yxx是齐次方程2220xyxyy的一个解，求非齐次线性方程23222xyxyyx的通解。（答案2312ycxcxx）6二阶常系数齐次线性微分方程形如：220dydypxqxydxdx或0ypxyqxy二阶常系数齐次线性微分方程当,pxqx均为常数，即0ypyqy或220dydypqydxdx其中p,q均为常数。求解：200ypyqypq三种情况：1）两个不等实根：12,1212xxycece2）两个相等实根：1212xyccxe3）一对共轭复根：1212,cossinxjjyecxcx推广：