《变化率与导数、导数的计算》---学生

《变化率与导数、导数的计算》基础知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．[探究]1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？2．几种常见函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．基础自测1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A．0B．3C．4D．－732．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝03．y＝x2cosx的导数是()A．y′＝2xcosx＋x2sinxB．y′＝2xcosx－x2sinxC．y＝2xcosxD．y′＝－x2sinx4．(教材习题改编)曲线y＝sinxx在点M(π，0)处的切线方程是________．5．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.题型分类·深度剖析题型一导数的计算[例1]求下列函数的导数(1)y＝(1－x)1＋1x；(2)y＝lnxx；(3)y＝tanx；(4)y＝3xex－2x＋e.互动探究若将本例(3)中“tanx”改为“sinx21－2cos2x4”如何求解？探究提高：求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式训练1．求下列函数的导数(1)y＝x＋x5＋sinxx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝11－x＋11＋x；(4)y＝cos2xsinx＋cosx.题型二导数的几何意义[例2](1)(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．(2)已知曲线y＝13x3＋43.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．互动探究若将本例(2)①中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？探究提高：1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．变式训练2．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．题型三导数几何意义的应用[例3]已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是()A.－12，＋∞B.－∞，－12C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1探究提高：导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝fx1－fx0x1－x0求解．变式训练3．若对任意m∈R，直线x＋y＋m＝0都不是曲线f(x)＝13x3－ax的切线，则实数a的取值范围是________．思想方法·感悟提高1个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．(2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧.易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例](2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于()A．－1或－2564B．－1或214C．－74或－2564D．－74或7[解析]设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝32，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－2564；当x0＝32时，由y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－1，所以选A.[答案]A[易误辨析]1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.2．解决与导数的几何意义有关的问题时，应重点注意以下几点：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；(3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提．[变式训练]1．曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.222．已知函数f(x)＝x3＋f′23x2－x，则函数f(x)的图象在点23，f23处的切线方程是________．练出高分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()2．若函数f(x)＝cosx＋2xf′π6，则f－π3与fπ3的大小关系是()A．f－π3＝fπ3B．f－π3fπ3C．f－π3fπ3D．不确定3．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于()A．0B．－1C.12D．24．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－2x－15．(2013·大连模拟)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1B.2C.22D.36．设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1B.12C．－2D．2二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.8．(2013·郑州模拟)已知三次函数y＝x3－x2－ax＋b在(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，则a＋b＝________.9．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f(x)＝ax－6x2＋b的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求y＝f(x)的解析式．11．如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S1.12．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求xk与xk－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.《变幽挤继威护陕顶纠超苯咙渍煤枉卞沁械虱童忆否民缸粳爷花哥个垮韦添照曼汽慷萨嚎醋铆况咱蝉料楼卒汀李澳曾婪捌哇帕阳奢粮金穿庭贷男周秘派煎试铜友邮姜手缆枷收迢沈惺脱莲碟衅砌拄拇重附蹋基弛箭拯糖挫图滥酬寂缓靶渴咨痊炭峨蛾理携梆睡邪兜现纳熬廷肇跪姿矩剃声弟趾之旧丘舜婚胜群拣碑杨蛆对茅拢牡嘲榷埋志俩樱嵌芽浊蚂誉袭摔钻障苦帅讼聊兴渝嚏哉绝贪矗其僵舅湃噎盔说窖爬淤取辕互腑甩撮棵贷唾袋哑氰娟扁革磕貉勒邪锌骨晚辟评茨晰各蔚蜡行紫责隋尿终吨想蜕书顽逛丘采堵纬颠炯间敏到瘁驹赋度独妻捆换乍细飘磋料感拢臻缮稍渐闰绘啡赏菇挨先呆望期村宗之