8.1二元一次方程组.1二元一次方程组

8.1二元一次方程组学习目标1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.2.学会用类比的方法迁移知识;体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性.3.通过学习,感受数学与生活的联系,感受学习数学的乐趣.重难点【重点】二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义.【难点】二元一次方程组解的含义.课前准备【教师准备】教学导入过程的情境图片.【学生准备】复习一元一次方程的相关知识.情景引入篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜、负场数分别是多少?在上面的问题中,要求的是两个未知数.如果用一元一次方程来解决,列方程时,要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢?我们从这个想法出发,开始本章的学习.问题(1)情境中包含哪两个等量关系?(2)如果设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗?(3)你能把上述等量关系整理在下面的表格中吗?胜负合计场数积分方程:(4)新列出的方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?(5)你能总结什么是二元一次方程吗?〔解析〕情境中包含这样两个等量关系:胜的场数+负的场数=总场数,胜场积分+负场积分=总积分.列表如下:胜负合计场数xy10积分2xy16方程:2x+y=16x+y=10认识新列出的两个方程的特点,可以从未知数的数量和未知数的次数两个方面进行分析.方程x+y=10与2x+y=16都含有两个未知数x和y,并且含有未知数的项的次数都是1.这两个方程中都含有两个未知数,而一元一次方程中只含有一个未知数.[处理方式]学生讨论交流后共同总结以上五个问题的答案.新知讲解定义:上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.(补充)下列方程中,是二元一次方程的是()A.7x+3y=2B.xy=9C.x+2y2=11D.-=2〔解析〕本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D选项不是整式方程,故都不是二元一次方程.故选A.[解题策略]从以下三个方面整体理解二元一次方程的定义:(1)有两个未知数;(2)含有未知数的项的次数为1;(3)是整式方程.注意1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.2.理解二元一次方程的概念要特别注意对次数的要求是“含有未知数的项的次数为1”,不能理解为“每个未知数的次数都是1”,如xy+2=0就不是一个二元一次方程.结合学生的回答,教师板书定义:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.上面的问题中包含两个必须同时满足的条件,也就是未知数x,y必须同时满足方程:把这两个方程合在一起,写成{就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.二元一次方程组的概念是一个描述性定义,两个未知数不是两个方程中每个方程都含有两个未知数,可以是一个方程中含有一个未知数,也可以是两个方程中含有不同的两个未知数.(补充)下列方程组中,属于二元一次方程组的是()A.{-B.{C.{D.{--〔解析〕本题主要考查二元一次方程组的定义.A选项共含有三个未知数;B选项中的未知数的最高次数是2;D选项中不全是整式方程,故都不是二元一次方程组.故选C.问题1下面哪些解既适合方程x+y=10,又符合问题的实际意义?x012345678910y109876543210〔解析〕由上表可知x=0,y=10;x=1,y=9;…;x=10,y=0使方程x+y=10两边的值相等,它们都是方程x+y=10的解.如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系,那么x=-1,y=11;x=0.5,y=9.5;…也都是这个方程的解.这说明二元一次方程除非有实际意义的限制或者特别的限制,否则这种方程有无数个解.问题2写出方程2x+y=16的几个解?〔解析〕例如x=0,y=16;x=1,y=14;x=5,y=6……都是2x+y=16的解.问题3上述表格中的解,哪些或哪个是方程2x+y=16的解?〔解析〕x=6,y=4.问题4什么是二元一次方程组的解?〔解析〕一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.我们还发现,x=6,y=4既满足方程①,又满足方程②,也就是说,x=6,y=4是方程①与方程②的公共解,我们把x=6,y=4叫做二元一次方程组{的解.这个解通常记作{一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解是一对数,要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验,这对数只有满足方程组中的每一个方程,才能是这个方程组的解,而一元一次方程的解是一个数,这是它们之间的区别.1.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.2.一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.3.一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.课堂反馈1.下列方程中,是二元一次方程的是()A.3x-2y=1B.xy+y=9C.x-3=4y2D.x+x=2解析:本题考查二元一次方程的定义.B选项的未知数的最高次数为2,C选项的未知数的最高次数为2,D选项不含有两个未知数,因此它们都不是二元一次方程.故选A.2.下列各组数中,不是方程x+y=7的解的是()A.{B.{-C.{D.{-解析:将四个选项分别代入方程,能使方程成立的即是方程的解.反之,则不是方程的解.A.3+4=7,C.1+6=7,D.10+(-3)=7,均是方程的解,不符合选择要求;B.12+(-1)=11≠7,不是方程的解,符合选择要求.故选B.3.方程ax-y=3的解是{则a的值是()A.5B.-5C.2D.1解析:把{代入方程ax-y=3,得a-2=3,解得a=5.故选A.4.请判断下列各组数是不是二元一次方程组{-的解:(1){-(2){解:(1)把{-代入方程组,发现不满足2x-3y=4,所以{-不是原方程组的解.(2)把{代入方程组,发现适合每一个方程,所以{是原方程组的解.板书8.1二元一次方程组1.二元一次方程2.二元一次方程组3.二元一次方程组的解【必做题】教材第89页练习.【选做题】教材第90页习题8.1第5题.【基础巩固】1.下列方程中,是二元一次方程的是()A.xy=1B.y=5x-2C.x+x2=4D.x+y+z=12.下列说法中正确的是()A.二元一次方程只有一个解B.二元一次方程组有无数个解C.二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解D.判断一组数是否为二元一次方程组的解,只需代入其中的一个二元一次方程即可3.以{-为解的二元一次方程组是()A.{-B.{--C.{-D.{--4.母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒.从图中信息可知,若设鲜花x元/束,礼盒y元/个,则可列方程组为.5.若{-是方程组{的解,求m2-n的值.【能力提升】6.若3x3m-2-2yn-4=12是关于x,y的二元一次方程,则m和n的值分别是()A.m=0,n=0B.m=1,n=4C.m=1,n=5D.m=,n=47.二元一次方程组{的解是()A.{B.{C.{-D.{8.方程■x-2y=x+5是二元一次方程,■是被污染的x的系数,请你推断■的值属于下列情况中的()A.不可能是-1B.不可能是-2C.不可能是1D.不可能是29.若关于x,y的方程组{-的解是{则|m-n|为()A.1B.3C.5D.210.根据下列语句,设适当的未知数,列出二元一次方程(组):(1)甲数的2倍与乙数的的差等于48的;(2)林山学校七年级共招收学生292人,其中男生人数比女生人数多35人.【拓展探究】11.小明在做家庭作业时,发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染了:{-“□”是被污染的内容.他很着急,翻开后面的答案,发现这道题的解是{-你能帮小明补上“□”的内容吗?说出你的方法.12.根据下列问题,列出关于x,y的二元一次方程组.(1)一个两位数的个位数字与十位数字之和为11,把它的个位数字与十位数字对调,所得的数比原数大63,设原两位数的个位数字为x,十位数字为y.(2)七(2)班买了35张电影票,共用250元,其中甲种票每张8元,乙种票每张6元,则甲、乙两种票各买了多少张?设甲种票买了x张,乙种票买了y张.【答案与解析】1.B(解析:二元一次方程只含有两个未知数,且含未知数的项的次数为1,满足条件的是y=5x-2.故选B.)2.C(解析:A.二元一次方程有无数个解,故本选项错误;B.当两个方程不同时,有一个解,当两个方程相同时,有无数个解,故本选项错误;C.二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解,故本选项正确;D.判断一组数是否为二元一次方程组的解,需代入两个二元一次方程,故本选项错误.故选C.)3.C(解析:将{-代入各个方程组,可知{-满足条件.故选C.)4.{5.解:把{-代入方程2x+3y=m得:2×(-1)+3×2=-2+6=4=m,把{-代入方程5x+2y=n得:5×(-1)+2×2=-5+4=-1=n.所以m2-n=42-(-1)=16+1=17.6.C(解析:本题主要考查二元一次方程与一元一次方程的综合应用.因为3x3m-2-2yn-4=12是关于x,y的二元一次方程,所以3m-2=1,n-4=1,解得m=1,n=5.故选C.)7.D(解析:将各选项代入即可.)8.C(解析:如果被污染的x的系数是1,那么这个方程就是x-2y=x+5,即-2y=5.与题意:二元一次方程矛盾,所以被污染的x的系数不可能是1.)9.D(解析:把{代入方程2y+m=n,得2+m=n,所以|m-n|=2.故选D.)10.解:(1)设甲数为x,乙数为y,根据题意得2x-y=48×.(2)设男生为x人,女生为y人,根据题意得{-11.解:把{-代入方程组,得2x-y=2×1-(-2)=4,3x+4y=3×1+4×(-2)=-5.所以被污染的数字是4和-5.12.解:(1)等量关系:①个位数字与十位数字之和为11;②把它的个位数字与十位数字对调,所得的数比原数大63.由题意可列方程组为{-(2)等量关系:①共买了35张电影票;②共用250元.由题意可列方程组为{教学反思本课时在设计理念上围绕着类比的思路展开,充分借助于学生已掌握的一元一次方程知识,通过与一元一次方程的比较,引入二元一次方程的定义.通过类比一元一次方程的解,延伸到二元一次方程组的解.在这种设计理念的指导下,顺利地实现了本课时的教学目标.本课时的教学重点和难点集中在二元一次方程组的解的问题上,在处理这个问题时,除了强调一般的检验方法外,没有特别强调需要对方程组中两个方程分别去验证.由于本课时的三个概念,即二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解都是描述性的概念,因此可以让学生通过对知识的理解,自己去总结和描述相关定义.