关于矩阵指数函数及其在控制论中的应用的毕业论文

本科毕业论文(设计)题目矩阵指数函数及其在控制论中的应用院(系)数学系专业数学与应用数学学生姓名XXXXXXX学号XXXXXXX指导教师XXXXXX职称XXXXX论文字数6500完成日期:年月日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文(设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文(设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文(设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。本人签名：日期：导师签名：日期：Œ巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）I矩阵指数函数及其在控制论中的应用摘要矩阵指数函数是一类特殊而又重要的函数，无论是数学领域、计算机领域，还是工程技术领域涉及到的现代控制论中都有非常广泛的应用。本文从矩阵指数函数的基本定义开始，归纳总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而探讨了如何计算矩阵指数函数，本文选择了其中的四种计算方法，并通过实例说明了它们的计算量和计算步骤，对它们进行了简单的比较，分析遇到具体的问题应如何选择最佳的方法求解。另外联系现代控制理论，掌握如何用矩阵指数函数解决在工程技术领域中会遇到的状态方程问题以及在线性控制系统中常常涉及的求解线性微分方程组的问题。关键词：矩阵指数函数；Jordan标准型；状态方程；微分方程组矩阵指数函数及其在控制论中的应用IIMatrixexponentialfunctionanditsapplicationinControlTheoryAbstractMatrixexponentialfunctionisaspecialandimportantfunction,whetheritisthefieldofmathematics,computerareas,orengineeringtechnologyrelatedtothemoderncontroltheoryhasaverywiderangeofapplications.Thisarticlefromthematrixexponentialfunctionthebasicdefinitionofbeganto,summedsummedupthematrixexponentialfunctionsomebasicpropertiesof,andthusexploresthehowtocalculatethematrixexponentialfunction,paperchosetheoneofthefourkindscalculationmethod,developsimultaneouslyouttheexamplesillustratethetheircomputationvolumeandcalculationstep,righttheycarriedoutsimplecomparison,analyzeencounterspecificproblemsshouldhowtochoosethethebestmethodforsolving.InadditionContactmoderncontroltheory,tomasterhowtousematrixexponentialfunctiontosolveintheengineeringtechnicalfieldswillencounterofthestateEquationProblemaswellasonlineXingcontrolsystemsintheofteninvolveofthesolvinglineardifferentialequationsgroupissue.Keywords:Matrixexponentialfunction,Jordanstandard,equationofstate,differentialequations目录摘要...................................................................................................................IAbstract............................................................................................................II引言..............................................................................................................11.矩阵指数函数的概念及其基本性质................................................................1⒈1矩阵指数函数的概念...................................................................................1⒈2矩阵指数函数的基本性质...........................................................................22.矩阵指数函数的四种计算方法及其比较.........................................................62.1矩阵指数函数的四种计算方法......................................................................62.1.1利用HAMILTON-GAYLEY定理求矩阵指数函数.............................................62.1.2利用相似对角化求矩阵指数函数...............................................................72.1.3利用JORDAN标准形求矩阵指数函数..........................................................82.1.4利用待定系数法求矩阵指数函数.............................................................102.2四种计算方法的比较..................................................................................123.利用矩阵指数函数求解状态方程..................................................................134.矩阵指数函数的应用...................................................................................154.1矩阵指数函数在微分方程中的应用.............................................................154.2用矩阵指数函数求解一阶常系数齐次线性微分方程组.................................165.结束语........................................................................................................18参考文献.........................................................................................................19巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）1引言作为数学的一个重要分支，矩阵函数具有极其丰富的内容。随着计算机的高速发展和普及，矩阵函数的重要性也愈加显著。作为一种基本工具，矩阵函数在数学及其他科学技术领域，如信息计算、现代控制理论等学科都有着十分重要的应用。控制论是研究各种系统控制和通讯的一般规律的科学。随着科技的发展和计算机网路技术的普及，现代控制理论在工程信息技术以及其他领域中起着越来越重要的作用。本文通过矩阵指数函数的基本概念和性质，探讨了矩阵指数函数的四种计算方法并举例说明对其进行比较。最后通过求解状态方程来进一步研究矩阵指数函数在控制论和微分方程中的应用。1.矩阵函数的概念及矩阵指数函数的基本性质矩阵函数的概念和通常的函数概念类似，所不同的是这里的自变量和因变量都是n阶矩阵。本节首先以定理与矩阵幂级数的和为依据，给出矩阵函数的幂级数表示，进而探讨了矩阵指数函数的一些相关性质。1.1矩阵函数的概念定义1[1]设nnAC，一元函数fx能够展开为z的幂级数0kkkfzcz，并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵A的谱半径AR时，则将收敛矩阵幂级数0kkkcA的和定义为矩阵函数，记为fA，即0kkkfAcA矩阵指数函数及其在控制论中的应用2因为当z时，有2111......2!!znezzzn则对任意nnAC，矩阵幂级数211......2!!nIAAAn是收敛的。它们的和记为Ae，即211......2!!AneIAAAn通常称Ae为矩阵指数函数1.2[2]矩阵指数函数的基本性质性质1微分公式：AtAtAtdeAeeAdt（1.2.1）这是因为矩阵指数函数右端的级数绝对收敛，所以可以逐项求导，得到2233232431223311223311111()2!3!!1112!3!(1)!111()2!3!(1)!111()2!3!(1)!AtkkkkkkAtkkAtddeIAtAtAtAtdtdtkAAtAtAtAtkAIAtAtAtAtkAeIAtAtAtAtAkeA性质2Ate与kA可交换:kAtAtkAeeA从（1）中已看出Ate与A是可交换矩阵。容易证明Ate与kA也是可以交换。巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）3这里的k是任意自然数。性质3乘法公式之一：()AtAAteee（1.2.2）这是因为0000()()!!()!()!kkjjAtAkjkikiiikAtAteekjtAkik注意到0!()!()!iikikiittkik代入上式便得()0()!iAtAAttteeei性质4乘法公式之二从（1.2.2）很容易联想到，能否认为下式成立：()AtBtABteee首先，A和B的维数如果不同，AB就没有意义。其次，设A与B的维数相同，则矩阵指数函数及其在控制论中的应用42233223322232233()()2!3!2!3!()()2!2!()3!2!2!3!AtBtAtAtBtBteeIAtIBtABIA