数列(集体备课材料)

第1页（共18页）高三年级数学教研组集体备课资料江津八中备课内容：第三章数列§3.1数列的概念§3.2等差数列§3.3等比数列§3.4数列求和§3.5数列的综合应用主讲人：黄猛教学目标：1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解na与ns的关系，培养观察能力和化归能力．2、掌握等差数列的定义，通项公式和前n项和的公式以及等差数列的相关性质，并能利用这些知识解决有关问题．3、掌握等比数列的定义，通项公式和前n项和的公式，掌握等比数列的有关性质，并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．4、熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．考纲导读：知识点考纲展示考情分析数列理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项1、以数列的前n项为背景，考查通项公式。2、以数列的递推公式为载体，考查数列各项的求法及数列的通项。3、由数列前n项和，求通项。等差数列理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题1、定义及中项为背景，考查等差数列的判定。2、考查通项公式和前n项和公式为主，并考查方程思想。3、数列与函数、不等式等知识的交汇是考查的热点。选择题、填空题的形式考查等差数列的性质。第2页（共18页）等比数列理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题1、以定义及中项为背景，考查等比数列的判定2、以考查通项公式和前n项和公式为主，同时考查整体思想、分类讨论思想3、等差、等比数列交汇是考查的热点4、以选择题、填空题的形式考查等比数列的性质知识网络：数列基础知识定义项，通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列高考导航：数列与不等式、函数与导数、解析几何、立体几何、三角函数、排列组合与概率统计是高考数学考查的6大板块。数列与不等式在高考中所占分值如下表：年份200620072008200920102011题号文2、14、221、11、221、10、225、7、212、161、2、6、7、16理2、14、221、7、14、2114、2214、211、7、212、7、11、21分值文212224221833理212616222227第3页（共18页）通过上表可看出高考改革变化趋势是强调基础，提高能力，注重在知识的交汇处考查，高考历年来对数列的考查都是重点，在选填题中考查的都比较基础，但理科大题都是以压轴题的形式出现对学生数学能力的要求比较高；对于文科的要求从2010、2011年有一个很大变化，从压轴题变到大题第一题，这对文科数列的要求就大大减低了，从难题到比较简单题，让学生对于数列的畏惧程度大大减低。近年来本单元高考命题有以下特点：1、等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质是高考考查的重点，主要以选择题、填空题的形式出现在试题中，难度属中、低档，但解题方法灵活多样，掌握了一定的技巧，可以又快又准地完成，有利于区分出不同层次的学生。2、解答题多是等差数列、等比数列与函数、不等式、方程、解析几何相联系的综合题，考查思维能力，解决问题的能力及综合运用数学思想方法的能力，综合性较强，难度一般较高，特别是理科。3、数列的证明题是近年高考命题的一大热点，其中以理科最为突出，着重考察逻辑推理能力和综合运用知识解决问题的能力4、数列的前n项和与数列的通项公式是研究数列的两个重要方面，本单元中公式主要涉及这两个方面，它们之间的关系一直是高考命题的热点，要充分重视，理解它们之间的转化与化归。5、从解题思想方法的规律着眼，主要有：①方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；②函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③待定系数法、分类讨论等方法的应用。本单元重点与难点：重点：数列通项公式的意义及求法，na与nS的关系及应用；等差数列的判断，通项公式、前n项和公式、等差数列的性质应用；等比数列的判断，通项公式和前n项和的公式以及等比数列的有关性质的应用．难点：等比与等差的交汇知识，通项公式的求法，数列求和。课时安排建议：§3.1数列的概念2课时§3.2等差数列2课时§3.3等比数列2课时§3.4数列求和3课时§3.5数列的综合应用3课时第4页（共18页）各小节内容规纳总结：§7.1数列的概念（例题见复习资料）本考点是高考考查的重点问题之一，可以以选择、填空形式考查数列的项、项数，求通项公式等问题，也可以以解答题形式考查递推公式，ns与na的关系等综合问题，主要考查求数列的通项公式，多与等差、等比数列结合考查，要求方法到位，具备一定的运算能力，题型比较全面，难度中档货中档偏上。由递推求通项方法比较灵活，可以考查求前几项，然后观察猜想，题型上一般为选择、填空，也可以考查变形构造新等差、等比数列，形成解答题，难度中档或中档偏上。1、从函数观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。2、求通项公式应掌握几种常见方法，如：①已知数列的前几项，通过观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等求其通项公式②已知数列前n项和ns与na的关系，求通项③已知递推式求通项，掌握先猜后证、化归法、累加法等④11nnaaaqab型，确定系数，使1aqann⑤11nnaaaafn型，可用叠加法⑥11nnaaafna型，可用叠乘法。3、利用ns求na时，不要忘记对11,1,2nnsnnssna的条件验证，容易丢掉n=1的情况。§7.2等差数列（例题见复习资料）从近几年高考题可以看出，高考对等差数列的概念、通项公式、性质、前n项和公式的考查一直没有放松，尤其是等差数列的性质一直是高考热点。考查方式分为两方面，一是考查知识的掌握情况，另一方面考查灵活运用数列的有关知识分析问题、解决问题的能力。对等差数列的考查近几年仍坚持小题考性质，大题考能力的思想，对等差数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差中项、等差数列的性质的考查多出现于选择、填空题，难度较小，证明等差数列、结合其他章节知识的综合题多出现于解答题，难度以中档为主。单纯以数列知识为载体的试题，文科以等差数列的基础知识、基本解法为主，特别是以解方程为主，理科特别注意与不等式、函数、导数、几何等的结合。1、等差数列的判定方法：定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法1定义法：1nnaa常数（*nN）na为等差数列；2中项公式法：122nnnaaa（*nN）na为等差数列；第5页（共18页）3通项公式法：naknb（*nN）na为等差数列；4前n项求和法：2nSpnqn（*nN）na为等差数列；2、等差数列的性质：1等差数列{}na中，mnaamnd，变式mnaadmn；2等差数列{}na的任意连续m项的和构成的数列232,,,mmmmmSSSSS仍为等差数列．3等差数列{}na中，若mnpq，则qpnmaaaa，若2mnp，则2mnpaaa4等差数列{}na中，2nSanbn（其中1,02add）5两个等差数列{}na与{}nb的和差的数列{}nnab仍为等差数列．6若{}na是公差为d的等差数列,则其子列2,,,kkmkmaaa++L也是等差数列,且公差为md;{}nka也是等差数列,且公差为kd7在项数为21n项的等差数列{}na中，2+1=(+1),=,=(2+1)nSnaSnaSna奇中偶中中；在项数为2n项的等差数列{}na中2+11=,=,=()nnnnnSnaSnaSnaa1奇偶．8等差数列{}na中，nSn也是一个等差数列，即点(),nna（*nN）在一条直线上;点(),nSnn（*nN）在一条直线上.9两个等差数列{}na与{}nb中,,nnST分别是它们的前n项和,则2121nnnnaSbT.§7.3等比数列（例题见复习资料）本考点在高考中主要考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、性质及等差、等比数列的综合应用等问题，各种题型都由，客观题突出“小而巧”，主要考查性质，利用方程思想求一些基本元素，突出对逻辑思维能力的考查，数列与函数、不等式、解析几何、导数等结合较多，此外，经常以等差、等比数列为背景，命制开放性、研究性、探究性的试题等，要求学生具备一定的创新能力。第6页（共18页）1、解决等比数列有关问题的常见思想方法：①方程思想：等比数列的五个基本两种通过列方程或方程组“知三求二”②数形结合思想：通项可看作关于n的函数，从而研究数列的单调性（递增数列、递减数列、常数列、摆动数列）③分类思想：有关前n项和的问题讨论公比为1和不为1两种情况。2、等比数列的判定方法：定义法、通项公式法、中项公式法、前n项和公式法。1na是等比数列1nnaqa（q为非零常数）；2na是等比数列nnacq（0,0cq）3na是等比数列212nnnaaa4na是等比数列nnSkqk（11akq，0k，1q）3、等比数列的性质：1若na是等比数列，则mnmnaaq；2若na是等比数列，,,,*mnptN，当mnpt时，mnptaaaa特别地，当2mnp时，2mnpaaa3若na是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；4若na是等比数列，nS是{}na的前n项和，则mS,2mmSS,32mmSS…成等比数列．5两个等比数列{}na与{}nb的积、商、倒数的数列{}nnab、nnba、nb1仍为等比数列．§7.4数列求和数列求和是高考考查的有一大热点，常见方法可分为1、公式法2、分组求和法3、倒序相加法4、裂项相消法5、（配因子）错位相减法等1、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。第7页（共18页）1、差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn4、213)]1(21[nnkSnkn2、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列。若将这一类数列适当拆开，可以分为n个等差、等比数列，然后分别求和，再将其合并即可。若数列{}nc的通项公式为nnncab，其中{}{}nnab其中一个为等差数列，另一个为等比数列，求和时一般用分组求和法。例：求数列11111,2,3,4,˙˙˙24816的前n项和思路解析：数列的通项公式为12nnan，而数列1{},2nn分别为等差、等比数列解：（约）变式：求和22111...nnxxxyyy，0,1,1xxy3、倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa。此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。例：1、求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(532102、求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值。4、裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，裂项法的实质是将数列中的每项（通项