正则量子化与积分路径量子化

约束体系量子理论讲座报告上海科技大学（）（郑重提示：由于本报告略写粗糙，请各位参考相应文献，以作斧正）实际上，在量子场论刚建立时，就遇到了约束系统的量子化方法问题。大家知道，人们首先认识到的经典场是麦克斯韦电磁场要建立电磁场及电磁相互作用的微观理论，就需要将其量子化。目前理论物理界广泛使用的约束系统的量子化方法，主要有两种：一种是由狄拉克(PaulAdrieMauriceDirac)于1950年开始的工作基础上发展起来的正则量子化方法；另一个是在由1967年法捷耶夫(Ludwig．D．Faddeev，1934)和波波夫(Victor.Nikolaevich.Popov)的工作开始的用路径积分量子化方法发展起来的方法。（文中采用自然单位制ħ=c=1）1.正则量子化[1]所谓正则量子化,就是从经典的分析力学出发,加上量子条件使经典体系过渡到量子体系的一种方法。在经典力学中,设系统的正则坐标为qi；正则动量pi(i=1,2,…,n)。Hamilton量为H(qi;pi;t)=H(qi,…,qn;pi,…,pn;t)(1)正则运动方程为q̇i=∂H∂pi，ṗi=∂H∂qi(i=1,2,…,n)(2)任意两力学量u,v,Possion括号为（u,v）=∑(∂u∂qi∂v∂pi−∂u∂pi∂v∂qi)ni(3)由此可导出正则变量的Poisson括号为(qi，qi)=0;(pi，pi)=0;(qi，pi)=δij(4)一般力学量A的运动方程为Ȧ=(A,H)(5)这一套理论完全可以平行地移到量子力学中去。在量子力学中,正则变量qi，pi以及由它们所构成的力学量H、A、u、v等均是算符,所以,经典Poisson括号要用算符的对易关系的代替。它们的关系为（u,v）→1i[û,v̂]=−1i(ûv̂−v̂û)(6)当然这种对应仅适用于有经典对应的力学量算符。于是,正则变量的对易关系为[q̂i,q̂j]=0,[p̂i,p̂j]=0,[q̂i,p̂j]=iδij(7)(7)式称为量子条件,它是量子力学最基本的对易关系。对力学系统的正则变量加上量子条件,就使经典力学过渡到量子力学。这种过渡称为正则量子化。为找出量子力学中算符满足的运动方程,我们采用He1senberg绘景。在此绘景中,力学量算符随时间变化,而态矢量则不随时间变化。于是,正则运动方程为dq̂idt=1i[q̂,Ĥ]=∂Ĥ∂p̂i(8-1)dp̂idt=1i[p̂,Ĥ]=−∂Ĥ∂q̂i(8-2)在意力学量算符Â的运动方程为dÂdt=1i[Â,Ĥ](9)可以看出,正则量子化方法充分反映了量子力学与经典力学之间的内在联系。运用时间演变算符Û（t,t0）=[-iĤ(t−t0)](10)可将He1senberg绘景转换为Schrödinger绘景。通常初等量子力学均采S绘景。态矢量|ψ所满足的Schrödinger方程为i∂∂x|ψs=Ĥs|ψs(11)对于保守系,两绘景中Hamilton相同,通过解定态Schrödinger方程则可求出不同保守系的能量本征值En及本征态|ψn,就解决了能量的测量问题。其它力学量的测量也一样。2.路径积分量子化[2]由于波粒二象性,微观粒子不像经典粒子那样具有确定定的运动路径。在通常Schrödinger形式的量子力学理论（波动力学）中,放弃了运动路径的概念,而用量子状态代替它。但是,也可以在进行量子化的时候仍然保留运动路径的概念。这就是Feynman所发展的路径积分量子化。（1）几率振幅与叠加原理Feynman假定，各种不同的可能路径都有相等的几率因而几率振幅的绝对值都相等。只是位相不同。用S[q(t)]=∫L[q(t)]dttt0(12)表示和路径x(t)相应的作用量,则几率振幅为∅[q(t)]=C×exp(i·S[q(t)])(13)式中C为常数，这是Feynman所提出的量子力学体系的一条基本假设。另一条基本假设是叠加原理，用K(q0,q)表示在t0时刻处于q0的粒子到t时刻位于q的几率振幅，则K(q0,q)=∑∅[q(t)]qq0(14)K(q0,q)称为传播函数,是q0到q的所有路径的振幅求和。按定义，K(q0,q)的模的平方就是由q0到q的几率P(q0,q)=|K(q0,q)|2(15)(2)相继发生的事件由q0到q1和由q1到q是两个是相继发生的事件，根据几率的一般原理，由q0经q1到q的几率应等于由q0到q1的几率和由q1到q的几率的乘积，因而几率振幅=K(q0,q1)K(q1,q)(16)这里的K(q0,q1)和K(q1,q)分别包含了由q0到q1的几率和由q1到q的几率的各种可能路径。如果再对q1所有可能的求积分，就包括了由q0到q的各种可能路径和它对应的几率振幅是K(q0,q)，因而有K(q0,q)=∫K(q0,q1)K(q1,q)dq1(17)(3)路径积分利用（17）可以写出K(q0,q)=∫K(q0,q1)K(q1,q2)…K(qn−1,q)dq0dq1..,dqn−1(18)当∆t(∆t=t𝑖+1−t𝑖)很小时，作用量可以写成∫L[q,̇q,t]dtti+1ti≈∆t×L(qi+1−qi∆t,qi+1−qi2,ti+1−ti2)(19)则根据（13）有∅[qi+1，qi]=1/A×exp[∆t×L(qi+1−qi∆t,qi+1−qi2,ti+1−ti2)](20)式中1/A为归一化常数。此时K(q0,q)写成K(q0,q)=lim∆t→01A∫exp{i∑L(qi+1−qi∆t,qi+1−qi2,ti+1−ti2)i∆t}dq0Adq1A…dqn−1A(21)当∆t→0时，上式指数求和部分过渡为∫L[q,̇q,t]dttt0=S(q0,q)(22)当∆t→0,n→∞,上式右边由n重积分过渡成无穷的重积分。如果这一过渡的极限存在,就称它为路径积分,并写为K(q0,q)=1A∫exp(iS((q0,q)))qq0D(q)(23)式中D(q)=dq0Adq1A…dqn−1A这样,就完成了量子力学理论的路径积分表述。3.正则量子化与路径积分量子化比较正则量子化的优点在于:对于给定体系,由量子条件,用算符表示对应力学量,通过解本征方程可以很自然地得出各种力学量的本征值及其量子化特征。这种方法在Heisenborg绘景里,算符对易关系及其规律与经典量的Poisson括号十分相似,算符运动方程与经典力学的正则运动方程形式亦相同,它充分体现了量子力学与经典力学的内在联系。然而,这种方案必须将微观体系可观测量首先用算符表示,才有如上对应关系,量子条件和正则方程也是作为假设提出来的,这就使从量子力学到经典力学的过渡不易于理解。更重要的,在近代物理某些领域如规范场论中,正则量子化方案却行不通。路径积分量子正好弥补了正则量子化的这一缺陷,它无需量子条件和正则方程,传播函数被直接写成变典力学量的路径积分,由于它只涉及经典力学量,一方面可使某些问题的推演大为化简,另一方面使量子力学到经典力学的过渡显得更为自然。路径积分量子化的困难在于:对于较为复杂的体系,传播函数的路经积分计算不易进行,它涉及泛函积分和侧度理论。在近代物理尤其是基本粒子和场论中,路径积分量子化方法得到了广泛的应用。（郑重提示：由于本报告略写粗糙，请各位参考相应文献，以作斧正）参考文献[1]戴启润，正则量子化与路径积分量子化[M]，Vol.2NO.2(1989).[2]刘连涛，力学体系的路径积分量子化[M],华中师院学报，（1982）.