初中数学专题训练--圆--三角形的内切圆

初中数学精品设计例如图，△ABC的内心为I，外心为O，且∠BIC=115°，求∠BOC的度数．解：∵I为△ABC的内心，∴∠IBC=21∠ABC，∠ICB=21∠ACB．∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°．∴∠ABC+∠ACB=130°．∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=50°．又O是△ABC的外心，∴∠BOC=2∠A=100°说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+21∠A；∠BOC=4∠BIC-360°．例已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长．分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解．解：由勾股定理得：322ACABBC连结OA、OB、OC，设⊙O的半径为r，则：rCABCABSABC)(21△，又BCACSABC21△．∴BCACrCABCAB21)(21，∴143534CABCABBCACr．答：直角三角形内切圆的半径为1．说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．例（陕西省，2001）如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于D，交△ABC的外接圆于点E．（1）求证：IE=BE；（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．证明：（1）连结BI，∵∠BIE=∠BAI+∠ABI=21（∠BAC+∠ABC），∠IBE=∠IBC+∠EBC=21∠ABC+∠EAC=21（∠ABC+∠BAC），∴∠BIE=∠IBE∴IE=BE解：（2）∵I是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠DBE=∠CAE，∴∠BAE=∠DBE，又∵∠E为公共角，∴△ABE∽△BDE，∴DEBEBEAE，∴DEAEBE2∴DEAEIE2，∴284AEIEDE22．说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B组第3题的变形与结合；（3）本题为ABCOIABCDEI初中数学精品设计中档题．典型例题四已知：如图，设ABC为Rt，90C，以AC为直径作⊙O交AB与D，设E是BC的中点，连结OD、OE，求证：ODDE.证明连结CD.AC为⊙O的直径，D在⊙O上，ABCD，90ADC，又E是BC的中点，90BDC，BEDECE，ECDEDC.ACBC，C是半径的外端点，BC是⊙O的切线，AECDAEDC.又OCOD，90OCDA，90ODCEDC，90ODCEDCODE.ODDE.说明：本题证到AEDC时，也可说明DE是⊙O的切线，尽而说明ODDE.典型例题五例已知：如图，在ABC的外接圆中，D是的中点，AD交BC于点E，ABC的平分线交AD于点F.（1）若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并且逐一写出；（2）求证：.2EDADFDOCDODC初中数学精品设计解（1）有三组相似三角形：AEC与BED；BDE与ADB；AEC与ABD.（2）∵D是中点，∴DBCCADBAD.,BADABFCBFDBCCBFABF即.DFBDBF∴.DFDBDBEDDDABDBE,,∽.::.DBDADEDBDAB.,.22EDADDFDFDBEDADDB说明：本题考查三角形内心的性质，解题关键是熟练运用三角形内心的性质.易错点是找不到证明DFDB的解题思路.典型例题六例如图，等腰梯形ABCD中，cm10,cm9,cm21,//DACDABDCAB.⊙1O与⊙2O分别为ABD和BCD的内切圆，它们的半径分别为21,rr，则21rr的值是（）.A．47B．38C．37D．49解过D作ABDE于E，ABCF于F.∵梯形ABCD为等腰梯形，cm9,cm21,//CDABDCAB.).cm(2717211821212212.17815.15621.8610.6292112222BDADADDEABrBDBEDEAE初中数学精品设计同理，22r（cm）.∴.4722721rr∴选A.说明：本题考查三角形内切圆半径的求法，解题关键作辅助线，求出三角形的边长和高线长.易错点是企图求出21rr的而使思路受阻.典型例题七例（山西省，1998）如图，已知I为ABC的内心，射线AI交ABC的外接圆于D，交BC边于点E.（1）求证：BDID；（2）设ABC外接圆半径.,,2,3yDExADIDR当点A在优弧上运动时，求函数与自变量x间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.证明（1）连结BI.∵I是ABC的内心，∴.,DACBADIBCABI又.,DBCBADDBCDAC∴.DBCIBCBADABI即..BDIDIBDBID解（2）在ABD和BDE中，EDBBDADBEBAD,∴ABD∽BDE.∴.BDDEADBD又.,2DEADIDIDBD.4,,,2xyyDExADID.62,2xRADBD∴自变量x的取值范围是.62x说明：本题考查三角形内心的性质.解题关键是作辅助线并灵活运用三角形内心的性质，易错点是忽视自变量的取值范围或求错自变量的取值范围.选择题1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（）（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）平行四边形2、菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（）ABCDEFO初中数学精品设计（A）332（B）232（C）225（D）3253、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（）（A）70°（B）110°（C）120°（D）130°4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（）（A）1∶2∶3（B）1∶2∶3（C）1∶3∶2（D）1∶2∶35、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）平行四边形参考答案：BDBDC填空题1.等边三角形的边长为4，则外接圆的半径为________，内切圆半径为______，内切圆半径：高：外接圆半径=__________.2.ABC中，内切圆与AB，BC，CA相切于F，D，E，若40A，则______EOF，______EDF，______BOC.3.ABC的50A，80B，O是ABC的内心，则______AOB.4.内切圆的半径为r的等边三角形的面积为_________5.在ABC中，若90C，30A，3AC，则内切圆的直径为________.6.若ABC的BC边上的高为AH，BC长为cm30，直线BCDE//交AB、AC分别为D、E，以DE为直径的半圆与BC切于F，若此半圆的面积是2c18mπ，则mAHc_____.7.在ABC中，I为内心，若70A，则_______BIC.8.已知：等边三角形的边长为4，则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积是________.答案:1.334，332，3:2:12.140，170，1103.1154.233r5.336.107.1258.4.解答题1.画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切圆．2.（山西省，1998）如图，已知点I为△ABC的内心，射线AI交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．(1)求证：ID=BD；(2)设△ABC外接圆半径R=3，ID=2，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求函数y与自变量x间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．ABCDEI初中数学精品设计3．已知点I为ABC的内心，如果100ACBABC，求BIC的度数。4．已知：⊙O的半径为R，求它的外切等边三角形的周长和面积。5．如图，ABCRt的内切圆⊙O切斜边AB于点D，切BC于点F，BO的延长线交AC于点E，求证：BEBDBCBO6．如图，在ABC中，BCAC，E是内心，AE的延长线交ABC的外接圆于D，求证：（1）AEBE，（2）EDAEACAB答案：1.略2.提示：（1）与典型例题2一样；（2）由DEADID2，∴x4y，∵BDAD2R，∴自变量x的取值范围是2x2．3．1304．R36，233R5．连结OD，OF证BOD∽BEC6．（1）证CBACAB（2）证ABC∽EBD