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中考复习第三章函数及其图象知识梳理第17课二次函数的综合应用知识回顾1．二次函数与一元二次方程的关系(1)y轴与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点为(0，c)．(2)抛物线与x轴的交点：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2，就是对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根．抛物线与x轴的交点的个数可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ0；②有一个交点(顶点在x轴上)⇔Δ＝0；③没有交点⇔Δ0.(3)平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0个、1个或2个．当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝k的两个实数根．2．二次函数的应用在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型；生产和生活中，有很多“利润最大”“用料最少”“开支最节约”“线路最短”“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值．解决这类问题的一般步骤是：第一步：_________；第二步：________________；第三步：__________________；第四步：根据_____________或________求出最值(在自变量的取值范围内)．设自变量建立函数表达式确定自变量取值范围顶点坐标公式配方法基础落实1．已知二次函数y＝(m－1)x2＋2mx＋3m－2，若它的最大值为0，则m＝()A.32B.2C.12D.12．某体训队员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－112x2＋23x＋53.则他将铅球推出的距离是()A.7.5mB.8mC.10mD.13mCC3．二次函数y＝x2－ax－10的图象与x轴的交点的横坐标是－2，那么a的值是()A.－5B.－3C.5D.34．已知函数y＝x2－2x的图象经过点A(－1，y1)，B(－2，y2)，则y1_______y2(填“＞”“＜”或“＝”)．5．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种______棵橘子树，橘子总个数最多．D＜106．某玩具厂计划生产一种玩具狗，每日最高产量为40只，且每日产出的全部售出．已知生产x只玩具狗的成本为p元，售价为每只q元，且p，q与x的关系式分别为p＝500＋30x，q＝170－2x.(1)写出利润w与x之的函数关系式．(2)每日产量为25只时，每日获得的利润是多少元？(3)每日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)w＝xq－p＝－2x2＋140x－500.(2)当x＝25时，w＝1750(元)．(3)w＝－2(x－35)2＋1950，∴当x＝35时，利润最大，为1950元．7．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，则能建成的饲养室总占地面积最大为多少？(第7题图)解：设垂直于墙体的一面长为x(m)，建成的饲养室总占地面积为y(m2)，则垂直于墙体的一面长为27＋3－3xm，∴y＝x30－3x＝－3x2＋30x＝－3x－52＋75.∵－30，∴能建成的饲养室总占地面积最大为75m2.8．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价(元)x销售量y(件)销售玩具获得利润w(元)(2)在(1)问条件下，若商场获得了10000元销售利润，则该玩具销售单价x应定为多少元？(3)在(1)问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，则商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？解：(1)从上往下依次填：1000－10x；－10x2＋1300x－30000.(2)由题意，得－10x2＋1300x－30000＝10000，解得x1＝50，x2＝80.答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．(3)根据题意，得1000－10x≥540，x≥44，解得44≤x≤46.∵利润w＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250，∴a＝－10＜0，对称轴为直线x＝65，∴当44≤x≤46时，y随着x增大而增大．∴当x＝46时，w最大，w最大值＝8640元．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．易错警示易错易混点：确定实际问题中的最值与自变量的取值范围【例题】某商品的进价为40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价涨1元，那么每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【错误原型】原型1：取值范围写成“0＜x≤15”．原型2：由y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10(x－5.5)2＋2402.5，得当x＝5.5时，y有最大值2402.5.【错因分析】本题中，自变量x的取值范围对解题起决定性作用，在(1)中，忽视x为整数，致使在(2)中产生“当x＝5.5时，y最大＝2402.5”的错误．【正确解答】(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2100(0＜x≤15且x为整数)．(2)y＝－10(x－5.5)2＋2402.5，∵a＝－10＜0，∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5.又∵0＜x≤15且x为整数，当x＝5时，50＋x＝55，y＝2400(元)；当x＝6时，50＋x＝56，y＝2400(元)．∴当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．(3)当y＝2200时，－10x2＋110x＋2100＝2200，解得x1＝1，x2＝10.当x＝1时，50＋x＝51；当x＝10时，50＋x＝60.∴当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元；当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元)．【解决方案】应用二次函数求最值时，要注意区间段内求最值的两种情况：(1)顶点在区间段内，配方求最值；(2)顶点在区间段外，利用图象观察增减性求最值．题型精析题型一二次函数与一元二次方程要点回顾：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时便转化为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当抛物线与x轴交于点(x1，0)，(x2，0)且x1＜x2时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；x1＝－b－b2－4ac2a，x2＝－b＋b2－4ac2a.(2)当抛物线与x轴只有一个公共点，即抛物线顶点，为(－b2a，0)，此时x1＝x2＝－b2a，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根．(3)当抛物线与x轴无交点，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根．【例1】(2015·荆州)已知关于x的方程kx2＋(2k＋1)x＋2＝0.(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．(2)当抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P(a，y1)，Q(1，y2)是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围．(3)已知抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋2恒过定点，求出定点坐标．解析(1)分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式Δ≥0，方程总有实数根．(2)通过解kx2＋(2k＋1)x＋2＝0得到k＝1，由此得到该抛物线的表达式为y＝x2＋3x＋2，结合图象回答问题．(3)根据题意得到kx2＋(2k＋1)x＋2－y＝0恒成立，由此列出关于x，y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．答案(1)证明：①当k＝0时，方程为x＋2＝0，所以x＝－2，方程有实数根；②当k≠0时，∵Δ＝(2k＋1)2－4k×2＝(2k－1)2≥0，即Δ≥0，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根．(2)令y＝0，则kx2＋(2k＋1)x＋2＝0，解关于x的一元二次方程，得x1＝－2，x2＝－1k.∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k＝1.∴该抛物线的表达式为y＝x2＋3x＋2.如解图，由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜－3.(例1题图解)(3)由题意，得kx2＋(2k＋1)x＋2－y＝0恒成立，即k(x2＋2x)＋x－y＋2＝0恒成立，则x2＋2x＝0，x－y＋2＝0，解得x＝0，y＝2，或x＝－2，y＝0.∴该抛物线恒过定点(0，2)，(－2，0)．变式训练1(2014·济宁)“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是(A)A.m＜a＜b＜nB.a＜m＜n＜bC.a＜m＜b＜nD.m＜a＜n＜b(变式训练1题图解)解析依题意画出函数y＝(x－a)(x－b)图象草图，根据二次函数的增减性求解．依题意，画出函数y＝(x－a)(x－b)的图象，如解图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b(a＜b)．方程1－(x－a)(x－b)＝0转化为(x－a)(x－b)＝1，方程的两根是抛物线y＝(x－a)(x－b)与直线y＝1的两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧交点横坐标为n.由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n.综上所述，可知m＜a＜b＜n.答案A题型二利用二次函数解决商品销售问题要点回顾：二次函数应用问题中商品销售利润等有关的最大(小)值的实际问题，在解题方法上常用到待定系数法、配方法、公式法等．在数学思想方面同样体现了函数思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想等．求二次函数的表达式和函数的最大(小)值是考查重点，解题过程中要注意自变量的取值范围．【例2】(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1≤x＜5050≤x≤90售价(元/件)x＋4090每天销量(件)200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．(1)求出y关于x的函数表达式．(2)问：销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．解析(1)根据单价乘数量，可得利润，可得答案，注意分段．(2)根据分段函数的性质，可分别求出最大值，根据有理数的比较，可得答案．(3)根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式组，解不等式组可得答案．答案(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.综上所述，y＝－2x2＋180x＋2000（1≤x5），