指数与指数函数知识点与例题讲解

指数与指数函数知识点与例题讲解【基础知识回顾】一、指数1、根式：当n为奇数，aann；当n为偶数，00aaaaaann，，.2、指数运算(1)分数指数幂10nNnmaaanmnm，且，，；1011nNnmaaaanmnmnm，且，，.(2)指数幂的运算性质①Qsraaaasrsr，，0；②Qsraaaasrsr，，0；③Qsraaarssr，，0；④Qrbabaabrrr，，00.二、指数函数1、定义：一般地，函数10aaayx，且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2、图像和性质1a10a图像性质定义域：值域：过定点，即当0x时，1y在R上是在R上是非奇非偶函数3、同底的指数函数xay与对数函数xyalog互为反函数，它们的图像关于直线xy对称.三、立方和差公式2233yxyxyxyx，2233yxyxyxyx.【课前小测】1、233等于（）A、2B、33C、327D、272、52a等于（）A、52aB、25aC、52aD、25a3、下列函数是指数函数的是（）A、2xyB、xy2C、12xyD、xy234、函数32xy的定义域为（）A、,3B、RC、,3D、,05、使代数式041)73()2(xx有意义，则x取值范围是.考点一：比较大小例1、比较下列各题中两个数的大小：⑴8.037.03⑵1.075.01.075.0⑶6.08.16.18.0⑷3231532【解析】⑴因为xy3在R上是增函数，且7.08.0，所以8.037.03。⑵因为xy75.0在R上是减函数，且1.01.0，所以1.01.075.075.0。⑶因为xy8.1在R上是增函数，所以18.18.106.0，因为xy8.0在R上是减函数，所以18.08.006.1，所以6.16.08.08.1⑷因为xy)31(在R上是减函数，所以13131032，因为xy2在R上是增函数，所以122053，所以5332231变式1、下图是指数函数①xay，②xby，③xcy，④xdy的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是…()A、dcba1B、cdab1C、dcba1D、cdba1【注】在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小；即无论在y的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。考点二：解与指数相关的不等式例2、解下列不等式：⑴)1(332)21(22xxx；⑵2210.20.04xx；⑶)10(,422aaaaxxx且.【解析】⑴解：原不等式可化为：)1(332222xxx，∵底数21，∴)1(3322xxx，整理得：062xx，解得不等式的解集为}23|{xx.⑵解：原不等式可化为：2122.0)2.0(2xx∵底数00.21，∴2122xx(指数函数的单调性)整理得：0)3)(1(0322xxxx，解得不等式的解集为}31|{xx.【注】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.⑶解：当a1时，422xxx，整理得：0)4)(1(0432xxxx，解得不等式的解集为),4()1,(x；当0a1时，422xxx，整理得：0432xx，0)4)(1(xx，解得不等式的解集为)4,1(x.考点三：定点问题例3、函数)1,0(12aaayx的图象必经过点（）A、(0，1)B、(1，1)C、(2，0)D、(2，2)【解析】当2x时，2y，故函数的图像恒过定点)2,2(，选D【答案】D变式2、函数323xy的图像恒过定点.变式3、若1a，01b，则函数bayx的图象一定不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限考点四：分类讨论例4、函数)10(aayx，]2,1[x的最大值比最小值大a2，则a的值为________．【解析】由已知可得)10(22aaaa，解得21a。【答案】21变式4、当0x时，函数2()(1)xfxa的值总大于1，则实数a的取值范围是（）A、1||2aB、||1aC、||2aD、||2a变式5、若函数xaxf)1()(2在),(上是减函数，则a的取值范围是.变式6、(2010·北京东城模拟)如果函数)1,0(122aaaayxx在区间]1,1[上的最大值是14，求a的值．随堂巩固1、化简1327125的结果是（）A、35B、53C、3D、52、函数xy091.0是（）A、增函数B、减函数C、奇函数D、偶函数3、函数xy的值域是（）A、,0B、,0C、RD、0,4、34ab，则b的值为（）A、12aB、7aC、34aD、43a5、已知函数0302xxxfxx，，，则1f（）A、2B、1C、0D、216、当0x时，函数xaxf的值总大于1，则实数a的取值范围（）A、10aB、1aC、1aD、2a7、(08汕头)若函数10,1xfxabaa且的图像经过第二、三、四象限，则一定有（）A、010ab且B、10ab且C、010ab且D、10ab且8、设、是方程011052xx的两个根，则22，2；9、若313)25()52(xx,则x________；10、(05上海)方程0224xx的解是；11、(08广州)函数01xfxaaa且在1,2上的最大值比最小值大2a，则a.12、比较下列各组数的大小（用不等号填空）：⑴0.174______0.274；⑵1634________1543；⑶20.8________1253；13、设0a，xxeaaexf是R上的偶函数.⑴求a的值；⑵证明：xf在,0上是增函数.课后巩固1、设集合3,xSyyxR，21,TyyxxR，则ST等于（）A、SB、TC、D、有限集2、已知集合11M，，11242xNxxZ，，则MN（）A、11，B、1C、0D、10,1，3、设3.02a，23.0b，)1)(3.0(log2xxcx，则a、b、c的大小关系是（）A、cbaB、cabC、abcD、acb4、设函数2,322,2)(xxxxxfx，若1)(0xf，则0x的取值范围是（）A、),3()2,0(B、),3(C、),2()1,0(D、)2,0(5、定义x⊙yyx3，则a⊙(a⊙a)等于（）A、aB、a3C、aD、a36、若函数)10()(aaakaxfxx且在R上既是奇函数又是增函数，则)(log)(kxxga的图象是()7、指数函数fx图象上一点的坐标是81,3，则2f＝；8、函数233xyaaa是指数函数，则a=；9、已知5100，210，则2；10、函数y=(31)1x的值域是；11、函数y=3232x的单调递减区间是．12、求不等式101472aaaaxx，且中x的取值范围．13、定义在R上的奇函数)(xf有最小正周期为2，且)1,0(x时，142)(xxxf.⑴求)(xf在]1,1[上的解析式；⑵判断)(xf在)1,0(上的单调性；⑶当为何值时,方程)(xf在]1,1[x上有实数解.第八节指数与指数函数答案【基础知识回顾】二、指数函数2、图像和性质1a10a图像性质定义域：R值域：),0(过定点)1,0(，即当0x时，1y在R上是增函数在R上是减函数非奇非偶函数【课前小测】1．D2．A3．B4．B5．}372|{xxx且考点一：比较大小变式1、B考点三：定点问题变式2、)4,3(变式3、D考点四：分类讨论变式4、C变式5、)2,1()1,2(变式6、【解析】设xat，则2)1(12)(22ttttfy当1a时，],[1aat，∴14122maxaay，解得3a，或5a(舍)；当10a时，],[1aat，∴1412)(121maxaay，解得31a或51a(舍)．故所求a的值为3或31.随堂巩固1．B2．B3．A4．D5．D6．C7．C8．41；5129．110．011．21或2312．；；13．⑴解：∵)(xf是R上的偶函数，∴)()(xfxf，∴xxxxeaaeeaae∴xxxxeaeaaeae，∴)()(1xxxxeeaeea，∴0))(1(xxeeaa对一切x均成立，∴01aa，而0a,∴1a.⑵证明：在),0(上任取1x、2x，且21xx，则)11)(()1(1)()(2112221121xxxxxxxxeeeeeeexfxf∵21xx,∴,ee21xx有.0ee12xx∵01x，02x，∴021xx，∴121xxe，1121xxe01121xxe∴0)()(21xfxf，即)()(21xfxf，故)(xf在),0(上是增函数.课后巩固1、A2、D3、【解析】2213.0，13.002，2log)3.0(log22xxxx。∴cab。选B4、【解析】当20x时，13200xx，解得30x；当20x时，120x，解得200x。综上可知0x的取值范围是),3()2,0(。选A5、【解析】由题意知：a⊙aaa3，则a⊙(a⊙a)a3(a⊙a)aaaa)3(3，选C6、【解析】依题意得，对于任意的Rx有0)0(f，即01)0(00kakaf，1k，xxaaxf)(，)1(log)(xxga，xxaaxf)(在R上是增函数，故1a，)1(log)(xxga在),1(上为增函数，选C7、48、29、110、]1,0(11、),0[12、【解析】当1a时，函数xay为增函数，所以由题意可得：1472xx，所以3x。当10a时，函数xay为减函数，所以由题意可得：1472xx，所以3x。13、【解析】(1)∵)(xf是Rx上的奇函数，∴0)0(f.又∵2为最小正周期，∴)1()1()21()1(ffff，∴0)1()1(ff设)0,1(x，则)1,0(x，∴142142)(xxxxxf，∵)(xf是Rx上的奇函数，∴)()(xfxf，∴142)(xxxf∴142)(xxxf，∴).1,0(,142},1,0,1{,0),0,1(,142)(xxxxfxxxx(2)设1021xx，)()(21xfxf)14)(14()22()22(2112212122xxxxxxxx0)14)(14()21)(22(212121xxxxxx，∴)(xf在)1,0(上为减函数.(3)∵)(xf在)1,0(上为减函数，∴142)(1420011