线段的垂直平分线课件

2.线段垂直平分线做一做作已知线段AB的垂直平分线MN，垂足为点C.在MN上任取一点P，连结PA、PB，量出PA、PB的长.你有什么发现？线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.你能证明它吗？能用文字语言表述吗？CABMPNMNCABQ如图，MNAB，垂足为点C，AC=CB，点P是直线MN上的任意一点.已知：PA=PB求证：ABCNMP证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。证明:∵MNAB（已知）∴PCA=PCB(垂直的定义)在PCA和PCB中,AC=CB(已知),PCA=PCB(已证)PC=PC(公共边)∴PCA≌PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)ACMNP当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?PCA与PCB将不存在.PA与PB还相等吗?相等!此时,PA=CA,PB=CB已知AC=CB∴PA=PBB线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.线段垂直平分线的性质定理:几何语言表达：∵MN⊥AB于C，且AC=BC,点P在MN上∴PA=PBABMPC探索：该定理的逆命题是否是一个真命题？条件结论性质定理逆命题一个点在一条线段的垂直平分线上这个点到这条线段的两端的距离相等一个点到一条线段的两端的距离相等这个点在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线的性质定理的逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.线段垂直平分线的性质定理:已知:如图,PA=PB求证:点P在线段AB的垂直平分线上.过点P作PCAB，垂足为点C.在RtPCA和RtPCB中∵PA=PB，PC=PC∴RtPCA≌RtPCB(H.L.)∴ＡＣ＝ＢＣ∴PC是线段AB的垂直平分线.即点P在线段AB的垂直平分线上.证明：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。CBPA证明：故∠PCA=∠PCB=90°.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定理:几何语言表达：∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上BPCAABCMNCABMN线段的垂直平分线可以看作是和线段两端距离相等的所有点的集合.已知:如图ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在边AC的垂直平分线上.证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上(已知)∴PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等)同理PB=PC∴PA=PB=PC.ACBMNPM/N/证明：三角形三边的垂直平分线交于一点。∴点P在AC的垂直平分线上即三角形三边的垂直平分线交于一点问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.ABCP点P为校址1.如图,已知点A、B和直线l,在直线l上求作一点P,使PA=PB.lBAP点P为所求作的点练习2.如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE=CE.求证：AB+CD=AD+BC.DACBE证明：∵BD⊥AC，垂足为点E，AE=CE∴AB=CB，AD=CD.（线段垂直平分线的性质定理）∴AB+CD=AD+BC3.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC.求证：点D在AC的垂直平分线上。ABDC证明：∵BD+AD=BC=BD+DC∴AD=DC∴点D在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）习题13.52.如图，AB=AC,∠A=50°，DE垂直平分AB.求∠DBC的大小。ABCDE解：∵AB=AC∴∠ABC=∠C（等边对等角）又∵∠A=50°∴∠ABC=∠C=65°（三角形的内角和等于180°）再∵DE垂直平分AB∴DA=DB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∴∠ABD=∠A=50°∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=15°3.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD平分ABC交AC于D.求证:D点在AB的垂直平分线上.ABCD证明:30o∵C=90o,A=30o(已知)∴ABC=60o(三角形内角和定理)∴A=ABD(等量代换)∴D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.)∵BD平分ABC(已知)∴ABD=30o(角平分线的定义)30o∴AD=BD(等角对等边)填空：1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,则ABC为三角形.ABCED1题图等腰填空：1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,则ABC为三角形.2.已知:等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AD上一点,则BEEC.(填、或=号)ABCEDABCED1题图2题图等腰=3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则1=,2=.ABCDMN30o1275o30o60o45o填空：4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为13cm,则ABC的周长为cmABDCE1913cm5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?AD=BDCF=BFAC=BCCE=BE123CF=DF即:BF=CF=DFACEBFD1.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.求证:AD∥BC.ABCDO123证明:∵线段CD垂直平分AB(已知)∴CA=CB(线段垂直平分线的性质定理)∴1=3(等边对等角)又∵AB平分CAD(已知)∴1=2(角平分线的定义)∴2=3(等量代换)∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)ABCDEF1234∴1+2=4(等边对等角)又∵4=B+3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴1+2=B+3∵AD平分BAC(已知)∴2=3(角平分线的定义)∴1=B即CAF=B.证明:∵EF垂直平分AD(已知)∴AF=DF(线段垂直平分线的性质定理)2.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证:CAF=B.线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.