人教版选修二导数及其应用教案函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数教学分析：本节内容是导数研究函数性质的继续深入，在教材中起到了承上启下的作用，是本章的重要知识点，也是导数应用的关键知识点。通过对函数极值的判定，使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解；掌握了函数极值的判别法，为学生下一节学习函数最大、最小值与导数铺平了道路。三维目标1知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，探索函数的极值与导数的关系。3情感，态度与价值观感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。重点难点：教学重点：正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法。教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。教学手段：多媒体辅助教学教学流程：二、教学基本流程教学过程形成概念，深化概念：关系应用举例：通过例题和练习，学会求函数极值情景导入探究发现归纳小结，设计作业一情景导入大家观看过高台跳水吗？是否被运动员在高空用身躯画出的完美曲线的而折服？请同学们分析一下运动员从起跳到落水的运动状态的变化。设计意图：数学来源于生活，激发学生兴趣，渗透德育教育。二形成概念把以上实际生活问题抽象成数学模型，观察图1.3.8表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数()ht=-4.9t2+6.5t+10的图象。问题串：（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数ht在t=a处的导数是多少呢？（2）在点t=a附近的图象有什么特点？（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？师生活动：教师引导学生应用上节课函数的单调性与导数的关系回答上面问题。，发现结果：函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数ht单调递增,则'ht＞0;当t＞a时,函数ht单调递减,则'ht＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时,'ht先正后负,且'ht连续变化,于是h/(a)=0.探究推广：我们再来观察1.3.9图和图10.3.1，函数y=f(x)在a,b,c,d,e,f等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?函数y=f(x)导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?，aoht多媒体设计：以a，b两点为例，用几何画板动态演示在点a与点b处及附近导数的的变化情况。设计意图：用几何画板动态演示，直观形象，加深对概念的理解。师生活动：让学生先试着归纳总结，教师再补充，培养学生归纳概括能力。以a,b两点为例，我们可以发现，函数xfy在点ax的函数值af比它在点ax附近其他点的函数值都小，af'=0；而且在点ax附近的左侧xf'＜0，右侧xf'＞0。类似的，函数xfy在点bx的函数值bf比它在点bx附近其他点的函数值都大，bf'=0；而且在点bx附近的左侧xf'＞0，右侧xf'＜0。我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点,极大值与极小值称为极值.三深化概念问题1：通过几个条件可以确定函数在某点处有极值？(即函数在某点处取得极值的充分条件是什么?)①函数f(x)在0x的导数值00'xf②在0x附近的左右两侧xf'的符号为异号问题2：极大值一定比极小值大吗？让学生观察图10.3.1,可得，极值反映的是函数的局部性质。课本练习29P1下图是导函数'fx的图象，试找出函数xf的极值点，并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.四应用举例例1求函数31443fxxx的极值师生活动：学生思考交流，教师引导学生从极值的定义出发考虑解决问题的思路，教师板演解题过程，起到示范作用。解:∵31443fxxx∴'fx=x2-4=(x-2)(x+2)令'fx=0,解得x=2,或x=-2.下面分两种情况讨论:(1)当'fx＞0,即x＞2,或x＜-2时;（2）当'fx＜0,即-2＜x＜2时.当x变化时,'fx,f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)'fx+0_0+f(x)单调递增283单调递减43单调递增因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=283;当x=2时,f(x)有极小值,且极小值为f(2)=43函数31443fxxx的图象如右图:点评：此函数的导函数为学生熟悉的二次函数，可以引导学生画出导函数的简图，由导函数的图象直接读出'fx在某个区间的正负，达到“以形助数，以数辅形”。变式训练：1.课本29P2（1）（3）（用投影展示学生的作品，让学生发现错误与漏洞，教师集体纠错，并给予积极的评价，）2.已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)1答案：A设计意图：深化二次函数，三次函数的极值的求法。31443fxxx（备选例题）例2求函数1fxxx的极值。师生活动：让学生观察函数结构特征，尝试完成，教师适当启发诱导。学情预设：学生可能忘记函数的定义域,解题过程不够完善。解：∵1fxxx∴'fx=222111xfxxx211xxx令'fx=0,解得x=-1,或x=1.因为2x＞0，所以（1）当x＞1,或x＜-1时;'fx＞0。（2）当-1＜x＜0或0＜x＜1时，'fx＜0。当x变化时,'fx,f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,0)（0，1）1(1,+∞)'fx+0__0+f(x)单调递增-2单调递减单调递减2单调递增因此,当x=-1时,f(x)有极大值,且极大值为f(-1)=-2;当x=1时,f(x)有极小值,且极小值为f(1)=2多媒体设计：解题过程用幻灯片打出，节约课堂时间，增大课堂容量，学生对照自己的解题过程自查自纠，用多媒体画出函数1fxxx的图象，设计意图：让学生跳一跳，够得着，此函数为分式函数，等价转换后仍然是判别二次三项式的正负，同时，这道例题的极小值正好大于极大值，进一步说明极值反映的是函数的局部性质。五探究发现：活动设计：判断下列函数有无极值（1）3143fxx（2）32143fxxxx解：（1）'fx=2x令'fx=0,解得0x由导函数图象可得，△=0，x＜0时，'fx＞0；0xyx＞0时，'fx3143fxx＞0，所以在R上为增函数，无极值。（2）'fx224xx△＜0，'fx＞0，所以在R上为增函数，无极值问题1：，导数值为零的点一定是极值点吗?问题2：三次函数有几个极值点，极值点的个数由谁决定?设计意图：让学生亲临知识产生的过程，自己发现结论，同时突破了难点，培养学生的探究意识，提高学生分析问题，解决问题的能力。交流成果：导数为0的点不一定是函数的极值点.，函数在某点的导数值为零是取得极值的必要条件，而非充分条件。三次函数有三个或没有极值点，极值点的个数导函数的判别式决定。导函数的△＞0时，三次函数有两个极值点；若导函数的△0，三次函数无极值。问题3：你能归纳总结出求函数xfy的极值的步骤吗?（教师引导学生归纳概括）一般地，求函数xfy的极值的方法是：（一）确定函数的定义域(二)解方程f`(x)=0，当00'xf时；（1）如果在0x附近的左侧xf'＞0，右侧xf'＜0，那么0xf是极大值（2）如果在0x附近的左侧xf'＜0，右侧xf'＞0，那么0xf是极小值（3）如果在0x附近的左右两侧xf'的符号不变，那么0x不是xfy的极值点。六归纳总结1．通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？2从极值概念的形成到求函数的极值，你体会了哪些数学方法和数学思想？师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善。七作业设计：必做：P3245①④选做：补充题：1已知函数3fxaxbxc，其导函数'fx图象如图，则函数xf极小值是（）AabcB84abcC32abDc2已知函数323fxaxbxx在1x处取得极值。021xy（1）求a,b的值。（2）讨论1f和1f是函数xf的极大值还是极小值。八板书设计1.3.2函数的极值与导数函数的极值的定义例1的板演求函数xfy的极值的步骤九设计感想：本节的教学内容是函数的极值与导数,用上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.本节课始终以学生为主体，教师为主导，观察分析，合作交流，探究发现，归纳总结.注重概念形成的过程及求函数极值方法，突出重点，又很好的突破了难点，例习题的选取有梯度，有广度，注意数形结合等数学思想的渗透，注重学生思维品质的训练，培养了学生探究意识和成功意识，自主精神和合作精神，，本节课的设计面向全体，因材施教，能够使不同层次的学生在本节课都有所获。