第三课时-利用导数证明不等式专题

数学第三课时利用导数证明不等式专题数学利用导数证明不等式是近几年高考的热点问题,主要体现在压轴题中的一问,难度较大,分值约占6～8分.一般是把不等式问题转化成函数的最值问题进行解决.涉及的主要数学思想是转化与化归思想、分类讨论思想及函数与方程思想.专题概述数学直接将不等式转化成函数最值问题方法一【例1】(2015高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2e2x-ax(x0).当a≤0时,f′(x)0,f′(x)没有零点;当a0时,因为y=e2x单调递增,y=-ax单调递增,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增,又f′(a)0,当b满足0b4a且b14时,f′(b)0,故当a0时,f′(x)存在唯一零点.数学(2)证明:当a0时,f(x)≥2a+aln2a.(2)证明:由(1),可设f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于202xe-0ax=0,所以f(x0)=02ax+2ax0+aln2a≥2a+aln2a.故当a0时,f(x)≥2a+aln2a.数学反思归纳将不等式转化为函数最值来证明不等式,其主要思想是依据函数在固定区间的单调性,直接求得函数的最值,然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式.数学证明:(1)g′(x)=1xx,当0x1时,g′(x)0,当x1时,g′(x)0,即g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.所以g(x)≥g(1)=1,得证.【即时训练】已知函数f(x)=1-1exx,g(x)=x-lnx.(1)证明:g(x)≥1;数学证明:(2)f(x)=1-1exx,f′(x)=2exx,所以0x2时,f′(x)0,x2时,f′(x)0,即f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,所以f(x)≥f(2)=1-21e,①又由(1)x-lnx≥1,②,且①②等号不同时取得.所以(x-lnx)f(x)1-21e.(2)证明:(x-lnx)f(x)1-21e.数学将不等式转化为两个函数的最值进行比较证明方法二【例2】已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t0)上的最小值;(1)解:由f(x)=xlnx,x0,得f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=1e.当x∈(0,1e)时,f′(x)0,f(x)单调递减;当x∈(1e,+∞)时,f′(x)0,f(x)单调递增.①当0t1et+2,即0t1e时,f(x)min=f(1e)=-1e;②当1e≤tt+2,即t≥1e时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.所以f(x)min=11,0,ee1ln,.etttt数学(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)解:任意x∈(0,+∞),有2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+3x,设h(x)=2lnx+x+3x(x0),则h′(x)=231xxx,①当x∈(0,1)时,h′(x)0,h(x)单调递减,②当x∈(1,+∞)时,h′(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4.因为对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,所以a≤h(x)min=4.数学(3)证明:问题等价于证明xlnxexx-2e(x∈(0,+∞)).由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-1e,当且仅当x=1e时取到,设m(x)=exx-2e(x∈(0,+∞)),则m′(x)=1exx,(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx1ex-2ex成立.数学由m′(x)0得x1时,m(x)为减函数,由m′(x)0得0x1时,m(x)为增函数,易知m(x)max=m(1)=-1e,当且仅当x=1时取到.从而对一切x∈(0,+∞),xlnx≥-1e≥exx-2e,两个等号不同时取到,即证对一切x∈(0,+∞)都有lnx1ex-2ex成立.数学反思归纳在证明的不等式中,若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题,可以借助两个函数的最值进行证明,如本题中f(x)min=-1e,而m(x)max=-1e,且不同时取得,即可以证明f(x)m(x),从而证明不等式.数学(1)解:因为a=1,所以f(x)=x-lnx,f′(x)=1-1x=1xx,所以当0x1时,f′(x)0,此时f(x)单调递减;当1x≤e时,f′(x)0,此时f(x)单调递增.所以f(x)的极小值为f(1)=1.无极大值.【即时训练】已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=lnxx,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;数学(2)证明:因为f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1,所以[f(x)]min=1.又g′(x)=21lnxx,所以当0xe时,g′(x)0,g(x)在(0,e]上单调递增.所以[g(x)]max=g(e)=1e12,则g(x)+121≤f(x),所以在(1)的条件下,f(x)g(x)+12.(2)求证:在(1)的条件下,f(x)g(x)+12;数学(3)解:假设存在正实数a,使f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,则f′(x)=a-1x=1axx.①当01ae,即a1e时,f(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,e]上单调递增,[f(x)]min=f(1a)=1+lna=3,a=e2,满足条件;②当1a≥e,即a≤1e时,f(x)在(0,e]上单调递减,[f(x)]min=f(e)=ae-1=3,a=4e(舍去),所以,此时a不存在.综上,存在正实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3.(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.数学构造函数把不等式转化为最值方法三【例3】(2015高考福建卷)已知函数f(x)=lnx-2(1)2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(1)解:f′(x)=1x-x+1=21xxx,x∈(0,+∞),由f′(x)0,得20,10.xxx解得0x152.故f(x)的单调递增区间是(0,152).数学(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),则F′(x)=21xx.当x∈(1,+∞)时,F′(x)0,所以F(x)在[1,+∞)上单调递减,故当x1时,F(x)F(1)=0,即当x1时,f(x)x-1.(2)证明:当x1时,f(x)x-1;数学(3)解:由(2)知,当k=1时,不存在x01满足题意.当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)k(x-1),从而不存在x01满足题意.当k1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),则G′(x)=1x-x+1-k=2(1)1xkxx,由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0,解得x1=21(1)42kk0,x2=21(1)42kk1.当x∈(1,x2)时,G′(x)0,故G(x)在[1,x2)内单调递增,从而当x∈(1,x2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-∞,1).(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x01,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).数学反思归纳在证明不等式时,将不等式合理转化,如移项、提取公因式后,将式子的整体或部分构造成新的函数,然后再利用导数求得最值,进行证明,如本题要证f(x)k(x-1),转化为F(x)=f(x)-k(x-1)进行证明求解.数学【即时训练】(2016菏泽模拟)已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值;(1)解:设两曲线的公共点为(x0,y0),f′(x)=x+2a,g′(x)=23ax,由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),即22000200123ln,232.xaxaxbaxax由x0+2a=203ax,得x0=a或x0=-3a(舍去).即有b=12a2+2a2-3a2lna=52a2-3a2lna.数学即有b=12a2+2a2-3a2lna=52a2-3a2lna.令h(t)=52t2-3t2lnt(t0),则h′(t)=2t(1-3lnt).于是当t(1-3lnt)0,即0t13e时,h′(t)0;当t(1-3lnt)0,即t13e时,h′(t)0.故h(t)在(0,13e)上为增函数,在(13e,+∞)上为减函数,于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为h(13e)=233e2,即b的最大值为233e2.数学(2)证明:设F(x)=f(x)-g(x)=12x2+2ax-3a2lnx-b(x0),则F′(x)=x+2a-23ax=()(3)xaxax(x0).故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数.于是F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故当x0时,有f(x)-g(x)≥0,即当x0时,f(x)≥g(x).(2)求证:f(x)≥g(x)(x0).数学点击进入应用能力提升