同济大学---高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(xf在0x连续)()(lim00xfxfxx第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限1、定义1）数列极限axNnNaxnnn,,,0lim2）函数极限AxfxxxAxfxx)(0,,0,0)(lim00时，当左极限：)(lim)(00xfxfxx右极限：)(lim)(00xfxfxx)()()(lim000xfxfAxfxx存在2、极限存在准则1）夹逼准则：1）)(0nnzxynnn2）azynnnnlimlimaxnnlim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小（大）量1）定义：若0lim则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1)(~o;Th2limlimlim,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)1sinlim0xxxb)exxxxxx)11(lim)1(lim105）无穷小代换：（0x）a)xxxxxarctan~arcsin~tan~sin~b)221~cos1xxc)xex~1（axaxln~1）d)xx~)1ln(（axxaln~)1(log）e)xx~1)1(二、导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx左导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx右导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx函数)(xf在0x点可导)()(00xfxf2、几何意义：)(0xf为曲线)(xfy在点)(,00xfx处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法.5、高阶导数1）定义：dxdydxddxyd222）Leibniz公式：nkknkknnvuCuv0)()()(（二）微分1）定义：)()()(00xoxAxfxxfy，其中A与x无关.2）可微与可导的关系：可微可导，且dxxfxxfdy)()(00三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、Rolle罗尔定理：若函数)(xf满足：1）],[)(baCxf；2）),()(baDxf；3）)()(bfaf；则0)(),,(fba使.2、Lagrange拉格朗日中值定理＊：若函数)(xf满足：1）],[)(baCxf；2）),()(baDxf；则))(()()(),,(abfafbfba使.3、Cauchy柯西中值定理：若函数)(),(xFxf满足：1）],[)(),(baCxFxf；2）),()(),(baDxFxf；3）),(,0)(baxxF则)()()()()()(),,(FfaFbFafbfba使（二）洛必达法则（三）Taylor公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(baCxf，),()(baDxf，则若0)(xf，则)(xf单调增加；则若0)(xf，则)(xf单调减少.2、极值及其判定定理：a)必要条件：)(xf在0x可导，若0x为)(xf的极值点，则0)(0xf.b)第一充分条件：)(xf在0x的邻域内可导，且0)(0xf，则①若当0xx时，0)(xf，当0xx时，0)(xf，则0x为极大值点；②若当0xx时，0)(xf，当0xx时，0)(xf，则0x为极小值点；③若在0x的两侧)(xf不变号，则0x不是极值点.c)第二充分条件：)(xf在0x处二阶可导，且0)(0xf，0)(0xf，则①若0)(0xf，则0x为极大值点；②若0)(0xf，则0x为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1）)(xf在区间I上连续，若2)()()2(,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I上的图形是凹的；若2)()()2(,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I上的图形是凸的.2）判定定理：)(xf在],[ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则a)若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凹的；b)若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凸的.3）拐点：设)(xfy在区间I上连续，0x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy经过点))(,(00xfx时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00xfx为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线：)(limxfax，则ax为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：bxfx)(lim，则by为一条水平渐近线；四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数)(xF可导，且)()(xfxF，则)(xF称为)(xf的一个原函数.2、不定积分：在区间I上，函数)(xf的带有任意常数的原函数称为)(xf在区间I上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：)()(d)()]([xuduufxxxf2、第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）：)(1d)()]([)(xttttfdxxf（三）分部积分法：vduuvudv（反对幂指三，前U后V’）（四）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性质：（7条）性质7（积分中值定理）函数)(xf在区间],[ba上连续，则],[ba，使))(()(abfdxxfba（平均值：abdxxffba)()(）（二）微积分基本公式（N—L公式）1、变上限积分：设xadttfx)()(，则)()(xfx推广：)()]([)()]([)()()(xxfxxfdttfdxdxx2、N—L公式：若)(xF为)(xf的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba（三）换元法和分部积分1、换元法：tttfdxxfbad)()]([)(2、分部积分法：bababavduuvudv（四）反常积分1、无穷积分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf2、瑕积分：btatbadxxfdxxf)(lim)(（a为瑕点）tabtbadxxfdxxf)(lim)(（b为瑕点）两个重要的反常积分：1)1,11,d1ppapxxpap2)1,1,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq