一元函数与多元函数的差异与统一17页word文档

第1页一元函数与多元函数的差异与统一作者:蔡平梅指导老师:杨翠摘要本文通过对一元函数到多元函数的基本性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行比较，再推广到多元函数的方法，具体讨论了在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性，并且较为系统的比较了二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异.归纳了一元函数中表达概念间的关系的命题的正确性在多元函数中能否得以保持的规律.关键词极限连续微分积分统一差异1引言有关函数的概念，我们已经有了较深刻的认识，首先我们来回顾一下函数的定义：给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有唯一的一个数yM与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数.其中x为自变量，y为因变量.一元函数就是自变量只有一个的函数，有两个或两个以上的自变量的就叫多元函数.一元函数是两个数集之间的关系，而多元函数则是有序数组（二元数组，三元数组，……，n元数组）的集合与数集之间的函数关系.多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了n维空间（2n），是研究问题更加复杂化，研究方法更加多样化.在研究多元函数的内容时，需要经常与一元函数相关内容做比较，即比较两者之间的差异与统一.由已知一元函数的某些概念、公式引出多元函数的相关内容.在实际中，有时也可以正好相反，可以把多元函数的某些概念、性质应用到一元函数中.而这些都是在两者相互比较中实现的.比如，多元复合函数的偏导数的链法则，就可以应用到一元函数中.进而在极值、极限、微分、积分等方面就一元函数与多元函数的差异与统一展开详述，以使得在以后数学分析与高等代数的学习过程中更好的区分这两类函数，才能加深在数学分析与高等代数的学习中对这两类函数的极限、微分、积分等方面性质的理解，掌握以及运用.目前，关于一元函数与多元函数的差异与统一性的研究都已经取得了较为丰富的结果，然而在大学的《数学分析》或《高等数学》的教材中，只是做了简单的叙述.对于二者的差异与统一问题，我们还要进行具体系统的讨论.本文通过对一元函数到多元函数的基本性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行比较，再推广到多元函数的方法，具体讨论在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性，并且比较二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异.进而归纳一元函数中表达概念间的关系的命题的正确性在多元函数中能否得以保持的规律.2一元函数与多元函数的统一性多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了n维空间（2n），是研究问题更加复杂化.下面我们具体讨论论二者的统一性.2.1极限与连续的关系由多元函数的连续和有极限的定义中我们可以看出，这两个概念都是用多元法给出的.这样，一元函数fxyM在点0x处连续的表达式00limxxfxfx，就可以换成多元函数fP在点0P处的表达式（点P和点0P为多维空间的点），00limPPfPfP.从而就使得一元函数在一点连续则有极限的结论在多元函数中仍然成立，即“连续有极限”的第2页关系在多元函数中依然成立.2.2关于微分(1)“可微可导”的关系在多元函数中仍然成立在多元函数中，由于可微这一概念是用多元法给出的，,fxy在点00,xy处可微，即有()zAxByo（其中22xy）成立.再由偏导数的定义，我们有如下定理.定理2.2.1（可微的必要条件）若二元函数f在其定义域内一点00,xy处可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且0000,,,xyAfxyBfxy.由上述定理我们很容易发现，“可微可导”的关系在多元函数中也成立.（2）二者可微性之间的关系多元函数微分学中很重要的一个内容，就是弄清多元函数与一元函数在极限，连续，微分等问题上的关系.关于连续，极限的问题，我们在之前已经讨论过.现在，我们讨论一元函数可微性与多元函数可微性之间的关系.下面以二元函数为代表，再推广到多元函数中去.定理2.2.2一元函数,Fxfxy，对00;yUy（某个00），Fx在0xx可微（,Fyfxy对0;xUx，Fy在0yy可微），一元函数0,Gyfxy在0yy可微（0,Gxfxy在0xx可微）；且,xfxy（或,yfxy）在00,xy连续，则二元函数,fxy在00,xy可微.证明：不妨设,xfxy在00,xy连续.而对011;0yUy，,Fxfxy在0xx可微则有000,,,xfxxyfxyfxyxox，y可改记为01yyyy，则000000,,,xfxxyyfxyyfxyyxox又0,Gyfxy在0yy可微，同理000000,,,xfxyyfxyfxyyoy而0000000000000000,,,,,,,,xyfxxyyfxyfxxyyfxyyfxyyfxyfxyyxoxfxyyoy0000,,,xxfxyxyfxyyy在连续，故在连续第3页则0000,,xxfxyyfxy，其中0lim0y000000000000,,,,,,xyxyfxxyyfxyfxyxfxyyoxoyfxyxfxyyoxoyx，其中0lim0y现只需证明22()oxoyxoxy事实上，0000limlimlimlimoxoyxoxoyx显然，00limlim0oxoy而220lim0xxxxxy()0oxoyxo2200000000,,,,xyfxxyyfxyfxyxfxyyoxy,fxy在00,xy可微由上述定理我们可以看出，在一定条件下，一元函数与二元函数的可微性是统一的.接下来我们把定理2.2推广到n元函数.定理2.2.3一元函数112,,,nFxfxxx，对0220,xUx，0033000,,,,,0nnxUxxUx，1Fx在011xx可微，012123,,,nGxfxxxx对003300,,,,nnxUxxUx，12Gx在022xx可微，……，0021121,,,nnnnGxfxxxx对00,nnxUx，21nnGx在可微，0001121,,,nnnnGxfxxxx在0nnxx可微，121,,,xxxnfff在0000121,,,nnxxxx连续，则n元函数12,,,nfxxx在0000121,,,nnxxxx可微.这样，在特定的的条件下，我们就把一元函数与多元函数的可微性统一了.2.3二者在极值与极值判别法上的统一（1）可导函数“极值点必为驻点”均成立首先，我们看一个关于一元函数的定理.定理2.3.1（费马定理）设函数f在点0x的某邻域内有定义，且在点0x可导.若点0x第4页为f的极值点，则必有'00fx.我们称满足方程'0fx的点为驻点.那么，从上述定理中可以得出“可导函数的极值点必为驻点”这一命题.而这一命题的正确性在多元函数中是否继续保持呢，我们看下面的定理.定理2.3.2（极值的必要条件）若函数f在点000,Pxy存在偏导数，且在0P取得极值，则有00,0xfxy，00,0yfxy（1）若函数f在点0P满足（1）式，则称0P为f的稳定点（驻点）.可见，对于二元函数来说，“可导函数的极值点必为驻点”这一命题依然成立.对于3nn元函数来说，只要把0P点换为n维，（1）式变为110200,,,0xnfxxx，210200,,,0xnfxxx，……，10200,,,0xnnfxxx.即可发现，这一命题的正确性继续保持.从而一元函数与多元函数在这性质上是统一的.（2）无条件极值判别法的统一性○1正定二次型法设n元函数12,,,nFPfxxx在00000121,,,nnPxxxx点具有二阶连续偏导数，则称矩阵111212122212xxxxxxnxxxxxxnxnxxnxxnxnffffffHfff为函数12,,,nFPfxxx在0P点的Hesinn矩阵.由对二阶偏导数的连续性可知，H是实对称阵.记梯度12,,,nfffgradfPxxx，称满足0gradfP的点12,,,nPxxx为n元函数FP的驻点.分别称文献[1]的二元函数极值存在的充分条件，一元函数极值的第一和第二充分条件为引理1，引理2和引理3.定理2.3.3（必要条件）设n元函数12,,,nfPfxxx在点00000121,,,nnPxxxx具有偏导数并取得极值，则00gradfP.定理2.3.4（充分条件）设函数12,,,3nfPfxxxn在点000012,,,nPxxx的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又00gradfP，则1)当H是正定矩阵时，函数fP在点0P取得极小值；第5页2)当H是负定矩阵时，函数fP在点0P取得极大值；3)当H是不定矩阵时，函数fP在点0P不取得极值.推论2.3.3当2n时，定理3.4与引理1等价；当1n时，定理2.3.4与引理3等价.证明：对于二元函数,fxy，令2,xxxyyxyyffABHACBffBC则000000,0,,0xygradfPfxyfxyH正定0,0A,此时fP在0P取极小值；同理，H负定0,0A,此时fP在0P取极大值.由上可见，定理2.3.4与引理1等价.对于一元函数fx，''Hfx，当'000gradfPfx时，H正定''0fx，此时，fx在0x取极小值；H负定''0fx，此时，fx在0x取极大值.由上可见，定理2.3.4与引理3等价.由推论3.3可见，二次型正定性法对1nn元函数情形均成立，并且在函数具有二阶连续偏导数的条件下，引理1和引理3为定理2.3.4的特例，三者可统一由定理2.3.4表述.由极值存在的充要条件可知，在定义域内求n元函数fP的极值可按下述步骤进行：1)求出驻点；2)求出fP在点0P点的Hesinn矩阵H，判定H的正定或负定性.而H的正定性通常是由矩阵H的所有主子式符号来判定的，因此，定理5.1.2得到下述推论应用更方便.推论2.3.4（雅可比行列式法）设点000012,,,nPxxx为12,,,nfPfxxx的驻点，且fP在驻点的邻域内有二阶连续偏导数.记0P驻点处的雅可比行列式为111212122212,1,2,xxxxxxixxxxxxiixixxixxixiffffffDinfff1)01,2,iDin时，0P为极小值点；2)02,4,6,01,3,5,iiDiDi且时，0P为极大值点.第6页证明：由矩阵正定的充要条件【10】，当0iD时，定理2.3.4中的H正定，fP在点0P取极小值，当