收敛数列性质(经典课件)

§２收敛数列的性质教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。教学方法：讲练结合。教学学时：4学时。引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证limnnaa的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。一、收敛数列的性质：定理2.2（唯一性）若数列na收敛，则它只有一个极限。分析：设数列na有两个极限ba,，只需证明ba，即证ba可小于任一给定充分小的数。证明：设aannlim与bannlim，根据数列极限的定义，有.,,.,,,02211baNnNNaaNnNNnn有有取21,maxNNN.同时有,Nbaaann,,于是，,N2)()(baaabaaabannnn，这就说明ba，从而收敛数列的极限唯一。定理2.3（有界性）若数列na收敛，则na为有界数列。分析：即证.,,0MaNnMn都有证明：设aannlim，根据数列极限定义，对10＝，NN，Nn，有1aan，从而Nn，有aaaaaaaannn1，取1,,,,max21aaaaMN，于是，.,MaNnn都有即收敛数列必为有界数列。注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列(1)n有界，但它不收敛。定理2.4（保号性）若lim0nnaa（或0a），则对任何(0,)aa（或(,0)aa），存在正数Ｎ，使得当nN时有naa（或naa）。证明：设0a，取)0('0aa，则0N，Nn，有'aaan，这就证得结果。对于0a，的情形，也可类似地证之。注：应用保号性时，经常取.2'aa定理2.5（保不等式性）设数列na与nb均收敛，若存在正数0N，使得当0nN时有nnab，则limlimnnnnab。证明：设aannlim，bannlim，则0，bbNnNaaNnNnn时有：使得当时有：使得当2211,0,0，取210,,maxNNNN，则当Nn时有：bbaann，故有2ba，由的任意性便知ba（参见第一章§1例2），即limlimnnnnab。思考：如果把条件“nnab”换成“nnab”，那么能否把结论换成limlimnnnnab？（答：不行，考虑数列n1与21n。保不等式性的一个应用：例1设0(1,2,3,)nan，证明：若limnnaa，则limnnaa.证明：由保不等式性可得0a.若0a，则由limnnaa，0，0N，使得当Nn时有nnaaa，从而nnaa0，故有0limnna.若0a，则由limnnaa，0，0N，使得当Nn时有aan，从而aaaaaaaaaannnn1，故有limnnaa.定理2.6（迫敛性）设收敛数列na、nb都以a为极限，数列nc满足：存在正数0N，当0nN时有nnnacb，则数列nc收敛，且limnnca.证明：由已知abannnnlimlim有0，abNnNaaNnNnn时有：使得当时有：使得当2211,0,0，从而取210,,maxNNNN，当Nn时有abcaannn，即有acn，故得数列nc收敛，且limnnca.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其应用一例：例2证明1limnnn.证明：Nn，有1nn，令01nnhn，则222)1(!2)1(1)1(nnnnnnnhnnhhnnnhhn，所以)1(120nnhn，于是)1(12111nnhnnn易知1121lim1limnnn，从而由迫敛性便知1limnnn.有些教材在此还有性质保序性(本节课后习题2)(保序性)若bbaannnnlim,lim,且ba,则存在正数N，使得当Nn时有.nnba证明：根据数列极限的定义，对020ab，由aannlim知,2,2,011baaabaaNnNnn从而时有使得当由bbnnlim知,2,2,022nnbbaabbbNnN从而时有使得当取21,maxNNN，则当Nn时便有nnbbaa2，命题得证。注：利用保序性以及反证法很容易可证明保号性定理。二、数列极限的四则运算法则：定理2.7（极限的四则运算法则）若na、nb为收敛数列，则,,nnnnnnababab也都收敛，且有lim()limlimnnnnnnnababab;lim()limlimnnnnnnnababab.若再做假设0nb及lim0nnb，则数列nnab也收敛，且有limlimlimnnnnnnnaaabbb.证明：证明思路大致如下设aannlim，bbnnlim，则0，bbNnNaaNnNnn时有使得当时有使得当2211,0,0，取21,maxNNN，则当Nn时便有baaann,同时成立。①2)()()()(bbaabbaababannnnnn于是nnnnnnnbababalimlimlim；②2)()()()(bbaabbaababannnnnn于是nnnnnnnbababalimlimlim；③又有界性定理收敛数列必有界，设数列nb有界，即,0M使得Nn，都有Mbn，)()()(bMbMaabbbaabbababaabbannnnnnnnn于是nnnnnnnbaabbalimlimlim；④由0limbbnn知0limbbnn（上节课后习题7），由数列极限保号性知03N，使得当3Nn时有2bbn，取321,,maxNNNN，则当Nn时便有babbbaaabbbbbabababbabbabbababannnnnnnnnnn221)()(于是nnnnnnnbababalimlimlim.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；例3求.1232lim22nnnn解：2121lim1lim2lim3lim2lim11lim232lim11232lim1232lim22222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.例4求11101110limmmmmkknkkanananabnbnbnb，其中,0,0mkmkab.解：kkkkmmmmkmkkkkmmmmnbnbnbbnananaanbnbnbnbananana0111011101110111，已知kmkmnkmn，，10lim，kmkkkkmmmmnbanbnbnbbnananaa01110111lim，从而11101110limmmmmkknkkanananabnbnbnb＝kmbakmmm，，0.例5求1limnnnaa，其中1a.解：若1a，21111lim1limnnnnaa；若1a，01001limlimlim1limnnnnnnnnaaaa；若1a，.1111lim1limnnnnnaaa例6求lim(1)nnnn.解：lim(1)nnnn＝.211111lim1limnnnnnn例7求nnnnn22212111lim.解：由于222222111112111111nnnnnnnnnnn且易知1111lim111lim2nnnn（参考例1结论），于是由数列极限迫敛性便知nnnnn22212111lim＝1.三、数列的子列：1．引言：极限是个有效的分析工具。但当数列na的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道na没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。2．子列的定义：定义１设na为数列，kn为正整数集N的无限子集，且123knnnn，则数列12,,,,knnnaaa称为数列na的一个子列，简记为kna.注1由定义可见，na的子列kna的各项都来自na且保持这些项在na中的的先后次序。简单地讲，从na中取出无限多项，按照其在na中的顺序排成一个数列，就是na的一个子列（或子列就是从na中顺次取出无穷多项组成的数列）。注2子列kna中的kn表示kna是na中的第kn项，k表示kna是kna中的第k项，即kna中的第k项就是na中的第kn项，故总有knk.特别地，若knk，则knnaa，即knnaa.注3数列na本身以及na去掉有限项以后得到的子列，称为na的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为na的非平凡子列。如221,kkaa都是na的非平凡子列。3．数列与其子列敛散性关系：由上节例8易知：性质：数列na与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。那么数列na的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8数列na收敛于ana的任何非平凡子列都收敛且都收敛于a。证明：[必要性]设kna是na的任一子列。由aannlim知0，,0N使得当Nk时有aak，而knk，于是Nnk，从而aakn，所以kna也收敛于a。[充分性]设aaaknkn212limlim，由数列极限的定义aaKkKaaKkKkk222121100,0时有，使得当时有，使得当，取212,2maxKKN，当Nn（21212KkknKkkn，有；，有），有aan，即知数列na收敛于a。注：此定理的证明也可由上节例7直接得到。由此定理可见：若数列na收敛于a，则na的所有子列必收敛于a，反之亦成立；同时，若数列na有一个子