1.1.1正弦定理(用)

1.1.1正弦定理一、情景导入：问题1：如图，河流两岸有A、B两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A、B两地的距离(假设你现在的位置是A点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。AB问题2：此类问题可以归纳为在三角形中，已知某些边与角，求其他的边与角的问题，此类问题在数学里称为___________问题.解三角形C1、测出角A、C的大小2、量出AC的长度ABCabccbBcaAsin,sinBsinbAsinacCsinc问题3：在Rt三角形中，角C=90o，如何定义sinA,sinB?那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？可分为直角三角形，锐角三角形，钝角三角形三种情况分析.问题4【猜想与推广】当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,CABDabcBbAasinsin同理，做BC边上的高可得BbCcsinsinCD=asinB=bsinA,则E所以，CcBbAasinsinsinAE=bsinC=csinB即：sin斜对对=斜sinθ(θ为锐角)当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,sinBbsinAa同理，做BC边上的高可得BbCcsinsinCD=asinB=bsinA,则所以，CcBbAasinsinsinＡＢＣＤacbEAE=bsin∠ACE=bsinC=csinB即：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sinsinsinabcABC=2R(R为ABC外接圆半径)定理的应用例1：在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。，解三角形.（即求出其它边和角）解：B180(AC)105sinsinbcBC由正弦定理得b=CBcsinsin=30sin105sin10（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角sinsinacAC由正弦定理sinsincAaC得=21030sin45sin10BACbc)26(5a根据三角形内角和定理，（1）在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=12。解三角形.30,43Cac练习：已知两角和任一边，求其他两边和一角.0,2,45,,,ABCbBACc例2：在中，a=3求00,,0180abABA且060A000(1)60,180()75ACAB当sin26262sin4222bCcB000(2)120,180()15ACAB当sin26262sin4222bCcB23sin32sin22aBAb解：(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.0120A或（三角形中大边对大角）0,2,45,,,ABCbACc练习：在中，a=2求B22sin12sin22bABa解：由正弦定理得00,,0180abABB且030,105BCsin26231sin422aCcA(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.（三角形中大边对大角）思考利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？1.已知两角和任一边，求其它两边和一角；2.已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解⑴若A为锐角时:　　　　一解　两解　　一解　　无解babaAbAbaAbasinsinsin已知a,b和∠AabsinA无解baACHa=bsinA一解baBACbsinAab两解baaB1AB2CHa=b一解baBACH已知三角形两边和其中一边对角时，解的情况讨论：baACbaAC⑵若A为直角或钝角时:　　一解　　无解baba解三角形时解的情况:2正弦定理用途：解斜三角形1.已知两角和任一边，求其它两边和一角；2.已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。实现三角形当中边角之间的转化::sin:sin:sinabcABC作业、1、在△ABC中，已知A=75°，B=45°，c=求C，a，b.233、在△ABC中，c＝6，C＝π3，a＝2，求A、B、b.2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A、b、c.4、在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，求B、C及b.1.1.1正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sinsinsinabcABC变式:AaCcCcBbBbAasinsin;sinsin;sinsin1cbaCBA::sin:sin:sin2CcBbAasinsinsin)3()0(sinsinsinkkCBAcba.0sinsinsin）（，，或kCkcBkbAka答案：C1．已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°解析：由正弦定理得sinA＝asinBb＝2·323＝22，又∵ab，∴AB.∴A＝45°，故选C.判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解答案：A2．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA∶sinB的值是()A.53B.35C.37D.57解析：在△ABC中，C＝120°，故A，B都是锐角．据正弦定理sinAsinB＝ab＝53，故选A.3．在△ABC中，BC＝3，A＝45°，B＝60°，则AC＝________.解析：由正弦定理得：ACsinB＝BCsinA∴AC＝BCsinBsinA＝3×sin60°sin45°＝322答案：3224．已知：△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C及c.解析：根据正弦定理，得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32，∵ba，∴BA，∴A＝60°或120°.①当A＝60°时，C＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝2sin(45°＋30°)＝6＋22.②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，∴c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝2sin(45°－30°)＝6－22，∴A＝60°，C＝75°，c＝6＋22，或A＝120°，C＝15°，c＝6－22..试判断ΔABC的形状,cosCccosBbcosAa已知例4.在ΔABC中,解：由正弦定理，得k,sinAa令ksinCcksinB,bksinA,a代入已知条件，得：cosCsinCcosBsinBcosAsinA即tanCtanBtanAC,BAπ),(0,CB,又A,形。从而ΔABC为正三角3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acosC，试判断△ABC的形状．解析：∵b＝acosC，由正弦定理得：sinB＝sinA·sinC.∵B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinA·cosC.即sinAcosC＋cosAsinC＝sinA·cosC，∴cosAsinC＝0，∵A、C∈(0，π)，∴cosA＝0，∴A＝π2，∴△ABC为直角三角形．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．【思路点拨】利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断△ABC的形状．例3【解】在△ABC中，根据正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(a2R)2＝(b2R)2＋(c2R)2，即a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°.由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝12.∵B是锐角，∴sinB＝22，∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．RTX讨论六：已知两边及夹角，怎样求三角形面积？证明：∵acsinB21bcsinA21absinC21SΔABCBACDabcaΔABCah21S而bsinCsinBcADha∴absinC21acsinB21SΔABC同理∴acsinB21bcsinA21absinC21SΔABChabcsinA21SΔABC数学建构三角形面积公式：互动探究3若本例中的条件“sinA＝2sinBcosC”改为“sin2A＝2sinBsinC”，试判断△ABC的形状．解：由sin2A＝sin2B＋sin2C，得a2＝b2＋c2.∴A＝90°.∵sin2A＝2sinBsinC，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc.∴b＝c，∴△ABC为等腰直角三角形．【名师点评】判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．作业1、在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．的形状。，判断中，若、在ABCBABAbaABCsincoscossin2223.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，23cos)cos(BCA,acb2，求B