《全等三角形》压轴题训练讲义(含答案)

第1章《全等三角形》压轴题训练(1)1.如图，在ABC中，,ADBCCEAB,垂足分别为,,,DEADCE交于点,HEH、3,4EBAE，则CH的长是()A.4B.5C.1D.22.如图，在RtABC中，90C，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边,ACAB于点,MN，再分别以,MN为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若4,25CDAB，则ABD的面积为()A.15B.30C.45D.603.如图，在RtABC中，90,12,6CACBC，一条线段,,PQABPQ两点分别在线段AC和以点A为端点且垂直于AC的射线AX上运动，要使ABC和QPA全等，则AP的长为.4.如图，//,,,,2,3ADBCABBCCDDECDEDADBC，则ADE的面积为.5.(1)观察推理:如图①，在ABC中，90,ACBACBC,直线l过点C，点,AB在直线l的同侧，,BDlAEl，垂足分别为,DE.求证:AECCDB.(2)类比探究:如图②，在RtABC中，90,4ACBAC，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB，连接BC，求ABC的面积.(3)拓展提升:如图③，在EBC中，60,3EECBECBC，点O在BC上，且2OC，动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间t.6.【初步探索】(1)如图①，在四边形ABCD中，,90ABADBADC.,EF分别是,BCCD上的点，且EFBEFD.探究图中,,BAEFADEAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD到点G，使DGBE.连接AG.先证明ABEADG，再证AEFAGF，可得出结论，他的结论应是.【灵活运用】(2)如图②，在四边形ABCD中，,180ABADBD.,EF分别是,BCCD上的点，且EFBEFD，上述结论是否仍然成立?请说明理由.【延伸拓展】(3)如图③，在四边形ABCD中，180,ABCADCABAD.若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EFBEFD，请写出EAF与DAB的数量关系，并给出证明过程.(2)1.如图，在ABC中，12,8,ABBCBD是AC边上的中线，则BD的取值范围是()A.28BDB.310BDC.210BDD.420BD2.如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以,ABAC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接,CEBG和,EGEG与HA的延长线交于点M，下列结论:①BGCE;②BGCE;③AM是AEG的中线;④EAMABC.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.13.如图，//,ABCDO是ACD和BAC的平分线的交点，且OEAC，垂足为E,OE=2.5cm，则AB与CD间的距离为cm.4.如图，在ABC中，90,45CBAC，点M在线段AB上，12GMBA，BGMG，垂足为,GMG与BC相交于点H.若MH=8cm，则BG=cm.5.如图，在ABC中10ABACcm,BC=8cm,D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A以acm/s的速度运动.设运动的时间为ts.(1)求CP的长;(用含t的代数式表示)(2)若以,,CPQ为顶点的三角形和以,,BDP为顶点的三角形全等，且B和C是对应角，求a的值.6.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示:在ABC和DEF中，,ACDFBCEF，BE，然后对B进行分类，可以分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况:当B为直角时，ABCDEF.(1)如图①，在ABC和DEF中,ACDFBCEF,90BE，根据，可以知道RtABCRtDEF.第二种情况:当B为钝角时，ABCDEF.(2)如图②，在ABC和DEF中,ACDFBCEF,BE，且,BE都是钝角.求证:ABCDEF.第三种情况:当B为锐角时，ABC和DEF不一定全等.(3)在ABC和DEF中，,ACDFBCEF，BE,且,BE都是锐角，请你用尺规在图③中作出DEF，使DEF和ABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)(4)B还要满足什,,,ACDFBCEFBE，且,BE都是锐角.若，则ABCDEF.参考答案(1)1.C2.B3.6或124.15.(1),BDlAElQ∴90BDCAEC∴RtAEC中90EACACE∵90ACB，180ECD∴90DCBACE∴EACDCB在AEC和CDB中AECCDBEACDCBACCB∴AECCDB(2)如图①，作'BDAC于点D，则'90ADBBCA∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至'AB，∴'ABAB，'90BAB即'90BACBAC∵在ACB中，90BCAB∴'BBAC在'BAD和ABC中，'''ADBBCABADBABBA∴'BADABC∴'4BDAC∴'11'44822ABCSACBD(3)如图②根据题意，画出图形.∵3,2BCOC∴1OBBCOC∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.∴120FOP，OPOF∴1260∵在BCE中，60EECB∴120OBFPCO∴在PCO中，2360∴13在BOF和CPO中13OBFPCOOFPO∴BOFCPO∴1PCOB∴314EPECPC∴点P运动的时间44()1ts6.(1)BAEFADEAF(2)成立.理由：延长FD倒点G，使得DGBE，连接AG∵180ADGADC，180BADC∴ADGB在ABE和ADG中ABADBADGBEDG∴ABEADG∴BAEDAG，AEAG∵EFBEFD∴EFDGFDGF在AEF和AGF中AEAGAFAFEFGF∴AEFAGF∴EAFGAF∵GAFFADDAGFADBAE∴BAEFADEAF(3)11802EAFDAB.证明：在DC的延长线上取一点G，使得DGBE，连接AG∵180ABCADC，180ABCABE∴ADCABE在ADG和ABE中ADABADGABEDGBE∴ADGABE∴AGAE，DAGBAE∵EFBEFD∴EFDGFD∵GFDGFD∴EFGF在AEF和AGF中EFGFAEAGAFAF∴AEFAGF∴EAFGAF∵360EAFGAFGAE∴2()360EAFGABBAE∴2()360EAFGABDAG即2360EAFDAB∴11802EAFDAB(2)1.C2.A3.54.45.(1)由题意，得3BPtcm，8BCcm.∴(83)CPBCBPtcm.(2)分两种情况讨论:①当BDCP时，BDPCPQ∵10ABcm，D为AB的中点∴152BDABcm.∴583t解得1t∵BDPCPQ∴BPCQ即311a1.解得3a②当BPCP时，BDPCQP∴383tt，解得43t∵BDPCQP∴BDCQ即453a，解得。154a综上所述，a的值为3或154.6.(1)HL.(2)如图①，过点C作CGAB的延长线于点G，过点F作FHDE的延长线于点H∵,CGAGFHDH∴90CGAFHD∵180CBGABC，180CBGABC，ABCDEF∴CBGFEH∵BCEF∴BCGEFH∴CGFH又∵ACDFRtACGRtDFH∴AD在ABC和DEF中∵ABCDEF，AD，ACDF∴ABCDEF(3)如图②，DEF即为所求(4)答案不唯一，如由(3)知以点C为圆心，AC的长为半径画弧时，当弧与边AB的交点在点A、B之间时，DEF和ABC不全等;当弧与边AB交于点B或没有交点时，ABCDEF，故ACBC，即当BA时，ABCDEF.因此可以填BA.