条件概率, 乘法公式

§1.4条件概率和乘法公式一、条件概率二、乘法定理三、小结在自然界及人类的活动中,存在着许多互相联系、互相影响的事件.除了要分析随机事件B发生的概率P(B)外,有时我们还要提出附加的限制条件,也就是要分析“在事件A已经发生的前提下”事件B发生的概率.记为P(B|A).这就是条件概率问题.一.条件概率例某班有30名学生,其中20名男生,10名女生;这30名学生中身高在1.70米以上的有15名,其中12名男生,3名女生.(1)任选一名学生,问该学生的身高在1.70米以上的概率是多少?(2)的答案是12/20=0.6.但是,这两个问题的提法是有区别的.第二个问题是一种新的提法.记A={选中男生},B={选中1.70米以上同学},则第二问是“在A发生的条件下事件B发生的概率”问题,即P(B|A).(1)的答案是15/30=0.5(2)任选一名学生,选出来后发现是位男生,问该同学的身高在1.70米以上的概率又是多少?注意到P(A)=20/30,P(AB)=12/30,从而有上例中，P(B|A)≠P(B)他们不相等的原因:“事件A已发生”这个新条件改变了样本空间。Q.公式是否具有普遍性?条件概率的定义:设A、B是两个事件，且P(B)0,则称)()()|(BPABPBAP为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.注:区别P(A|B),P(AB)求法是什么？（两种）例一批产品有5件，其中有3件正品，2件次品，从中取两次，做不放回抽样，A=“第一次取到的是正品”B=“第二次取到的是正品”求P(B|A)?P(B|A)=解法一：在原来的样本空间S中，用条件概率的定义计算)()(APABP两次都取得正品的概率1034523)(ABP53)(AP21解法2：在缩减后的样本空间A上计算由于事件A已经发生，即第一次取到的是正品，所以第二次取产品时，只剩下4件，并且正品只有2件，所以P(B|A)=21);()()()()4(212121BAAPBAPBAPBAAP).(1)()5(BAPBAP;0)(,1)(:)2(BPBSP规范性则有件是两两不相容的事设可列可加性,,,:)3(21BB.)(11iiiiABPABP性质;0)(:)1(ABP非负性前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.计算条件概率P(B|A)有两种方法：方法1在样本空间S的缩减样本空间SA中计算B发生的概率,得到P(B|A).方法2在样本空间S中,计算P(AB),P(A),然后利用定义表达式求出P(B|A).例1在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回地抽取两次,一次一张,求(1)第一次取到奇数卡片的概率;(2)已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片的概率;(3)第二次才取到奇数卡片的概率.解设A,B分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件,则35(2)()PBA(3)()PAB(1)P(A)=342335410例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有,8.0)(AP因为.)()()(APABPABP,4.0)(BP),()(BPABP.218.04.0)()()(APABPABP所以解由条件概率的定义：)()()|(BPABPBAP若已知P(B),P(A|B)时,可反求P(AB).二.乘法公式设A,B为两个事件若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(1)若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2)何时用？例1m个产品中有n个一等品，m-n个二等品，按不放回抽样，依次抽取两个产品，计算两次都取到一等品的概率。解法1：设Ai={第i次取到一等品}则)|()()(12121AAPAPAAP)(AP解法2：设A={两次都取到一等品})1()1(mmnn11mnmn乘法公式推广设为n个事件,若P(A1A2…An-1)0，则有nAAA,,,21)()()(12121AAPAPAAAPn)(213AAAP)(121nnAAAAP计算多个事件同时发生的概率)(3214AAAAPQ.何时用？例2一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.“大家不必争先恐后，一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”)|()|()(213121AAAPAAPAP解：Ai={第i个人抽到入场券}则={第i个人未抽到入场券},i＝1,…,5.iAP(A1)=1/5，P()＝4/51A514154)(321AAAP)(3AP＝（4/5）依次类推,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.)(2AP)(21AAP)|()(121AAPAP第一个人没有摸到票时，第二个人摸到票的概率为1/4前两个人没有摸到票时，第三个人摸到票的概率为1/3（3/4）（1/3）=1/5例3一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.波里亚罐子模型b个白球,r个红球于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出当c0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者,都会增加再传染的概率.例4设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.,321AAAB因为,)3,2,1(次落下打破透镜第表示事件以iiAi321AAAPBP213121||AAAPAAPAP10911071211.2003所以1.条件概率)()()(APABPABP三、小结)()()(APABPABP乘法定理.)()(,,)(,)(,.,)(,,)(大比一般来说中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数则用古典概率公式发生的概率中表示在缩小的样本空间而概率发生的中表示在样本空间ABPABPSABABPSABABPBSABPABSABPAA.)()(.2的区别与积事件概率条件概率ABPBAP12