高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探讨(向东来)

cbaθ高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探讨在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，能够提升对向量的理解，方便问题的解决。1.叉乘的定义【1】要确定一个向量，需要知道它的模和方向。如图1，对于给定的向量a和b，规定向量bac，满足：（1）模：babac,sin（2）方向：向量c的方向垂直于向量a和b（向量a和b构成的平面），且符合右手定则：用右手的食指表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度)0(到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。这里的也就是ba,。这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。2.叉乘的性质（1）显然有0aa（2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即abba，这是因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则一定要将手倒过来才能满足0，也就使得积向量反向。（3）易得对数乘的结合律，即ab)()(baba（4）可以证明分配律：cbcacba)(或cabacba)(3.叉乘的几何意义如图2，在平面上取点,,baOBOAO，作bababa,sin，由三角形面积公式sin21abS可知ba表示以OBOA,为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是图1kjizyxO以OBOA,为两边的平行四边形的面积。CBAOOBOA即OABCOABSS△2ba4.叉乘的坐标表示将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基——单位正交基底出发。给定一组单位正交基底kji,,，为满足运算要求，应使kji,,符合右手定则，即建立一个右手系，如图3。这样一来就有ikjjkikjiijkjikkij从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。可设),,(),,,(321321321321bbbbbbaaaaaakjibkjia则ba)()(321321kjikjibbbaaa由向量叉乘的分配律可知，),,()()())()()(122131132332122131132332231332123121231332123121(babababababababababababababababababababababababakjiijikjkjkikkjijkiji原式即),,(),,(),,(122131132332321321bababababababbbaaa这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。5.叉乘的实际应用（1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了极大简化。【例1】已知空间内有一平行四边形ABCD，且A(1,3,2)，B(2,3,1)，C(5,6,3)，求平行四边形的面积。【分析】按照常规解法，应用求空间角的公式求出ACAB和的夹角，再用sin21abS等相关公式计算。有了向量叉乘的帮助，可直接求ACAB，即为所求面积，从而使问题得到了极大简化，也减少了运算量。图2图3【解答】)1,0,1(AB，)1,3,4(AC43433)5(3)3,5,3(222ABCDSACABACAB（2）推荐一种计算空间内点到直线距离的方法。【2】如图4，对于给定的直线l和点C，可在l上取点BA,，则ABACABABC),(d这是因为ACAB表示平行四边形ABCD的面积，又等于),(dABCAB，整理即可得上式。【例２】已知点A(1,3,2)，B(2,3,1)，求点C到直线AB的距离【解答】)1,0,1(AB，)1,3,4(AC286243),(d433)5(3)3,5,3(222ABACABABCACABACAB（3）求平面的法向量由于向量叉乘运算bac中bcac且，由立体几何知识可知，如果选取一个平面内两个不共线的向量，计算它们的叉乘，那么其积向量就可以作为平面的法向量。正是由于法向量在立体几何中的广泛应用，这种方法也就可以大展身手。【例3】ABCD为边长为4的正方形，GC平面ABCD，GC=2，E、F分别是AD、AB的中点，求点B到平面EFG的距离。【分析】这是高中数学的常见问题。按照常规做法，应利用数量积求出平面GEF的法向量，再利用点到平面距离公式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面GEF的法向量。下面列出两种解法，以供比较。【解法1】如图5，建立空间直角坐标系（坐标原点为C），则A（4，4，0），B（0，4，0），D（4，0，0），E（4，2，0），F（2，4，0），G（0，0，2）。设平面EFG的一个法向量为0)2,4,2(),,()0,2,2(),,(),,,(zyxzyxGFEFzyxnnn则(D)CBA图４图５FEDBAGxzy11112112),(d)3,1,1(3,1133nnnBFEFGBzyxzyx，则令【解法2】空间直角坐标系的建立同解法1.111121148),(d)12,4,4)2,4,2(),0,2,2(nnnBFEFGBGFEFEFGGFEF（的法向量为平面６.叉乘的物理意义正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物理情景，向量的叉乘也与一些物理模型有着密切的联系，下面仅以通电直导线在匀强磁场中的受力（安培力）为例作简要说明。如图6，在磁感应强度为B，方向水平向左的匀强磁场中，有一段长为L的导线通有电流强度为I的电流，导线与磁场成角。由物理学规律可知sinBILF。从数学的角度理解，虽然中学物理中电流强度I被定义为标量，但由于电流有方向，不妨把I理解为矢量I，则sinsinIBLLIBF。又F垂直于B和L所成的平面，且符合物理学中的“左手定则”（类似于前面所提到的“右手定则”），故)(BILF这样，就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起，再一次体现出数学和物理紧密结合的特点，表现出科学世界的和谐与统一之美。总之，在高中数学所学知识的基础之上，引入向量的叉乘运算，又一次拓展了同学们的视野，令人感受到数学的无穷魅力。参考文献：【１】【２】向量_-_向量叉乘_向量点乘.doc来自（向东来）图6θI,LB