透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分

1透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分作者：华中师范大学计算机科学系2010级郑舒月学号2010213877内容摘要：基于大家在学习微积分的过程中的困惑，本文试图透过第二次数学危机谈一谈这位既神秘又可恨可怜的“消失了的量的鬼魂”，以“贝克莱悖论（Berkeleyparadox）”、“芝诺悖论（Zenoparadox）”等悖论了解牛顿和莱布尼兹关于微积分的理论及公式。由于18世纪的微积分的理论并不严谨，这就有悖于数学这一学科的首要特点。关于“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。从而掀起了第二次数学危机。关键词：第二次数学危机微积分Abstract：Basedonmostofstudentshavetheconfusionintheprocessofstudyingcalculus,fromthesecondmathematicalcrisis,thispapertriestotalkaboutthismysterious,hatefulandpoordisappearedquantityofghosts,withBerkeleyparadox,Zenoparadoxandsoon,toknowaboutthetheoriesandformulasofNewtonandLeibnitz.Becauseofcalculustheorieswerenotrigorousinthe18thcentury,thisiscontrarytotheprimaryfeatureofmath.Asthequestion--whetherinfinitelysmallquantityiszero:asinfinitelysmallquantityisconcernedinpracticalapplicationatthattime,itmustbezero,andisnotzeroatthesametime.Butfromtheviewoftheformlogic,thereisnodoubtthatthisisacontradiction.Thusthesecondmathematicalcrisisbrokeout.Keywords：Thesecondmathematicalcrisiscalculus前言大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。初次接触微积分时，大家都被弄迷糊了，基本学完教材微积分的知识，仍是无数个疑问让大家百思不得其解，比如：无穷小量似乎有时是0，有时又非零；dydx=f'(t)是否可以看做普通的除式或一个比式，有时候它似乎2可以作为除式，可是有时候它却并非如此；导数与微积分之间千丝万缕的关系似乎永远也说不全，道不明。后来了解到微积分的发展，从古希腊数学家认识到数在比例论上有不足之处所陷入的困惑，渐渐孕育了无穷小的概念，再到基本攻破第二次数学危机，特别是著名数学家柯西（Cauchy）的出现，加之前人的成果，建立了微积分的严密逻辑理论基础。成为严密的数学王国中一颗璀璨明珠。21世纪，微积分已应用于解决很多实际问题，跨越物理、计算机等多个领域，解决矩阵等计算，求近似问题，并广发应用于经济管理与农业上；在Mathematics等系列软件的诞生后，对于微积分的发展和学习更是有极大地促进作用，这也从另一个方面提醒现今学习好微积分是必不可少的。本文基于以上的困惑及考虑，从第二次数学危机认识牛顿和莱布尼兹的理论及公式，希望对大家有所帮助。正文我们知道，没有一门新的科学是某个人的单独成果，它往往要经历无数前人的努力，还甚至面临质疑与诽谤。古希腊人虽然没有明确的极限概念，它们将无穷小排除在几何证明之外，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理，但却十分麻烦。在17世纪下半叶，像费马、巴罗等数学家在微积分的研究上，还没有能将无穷小分析涉及的观点、方法和发现组成一门有着独特算法的新的数学分支。我们现在所熟悉的公式——牛顿-莱布尼茨公式。显然，人们将微积分的发明还是归功于这两位著名的数学家——艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨，撇开无聊的关于优先权的问题不谈，只论他们所研究出的成果看，他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。其实牛顿当初陈述的并不是像我们现在这样从算术的角度看数列极限，这些数代表了相关几何量的（算术）长度变得无穷小的时候它们之间的比，牛顿在《原理》中这样阐述“严格地说，消失量的最终比不是最终量之比，而是这些无限减少的量之比的极限，尽管这些极限可以比任何给定都要接近它，但在这些量无限减少之前，它们既不能超过也不能达到这个极限。”这段话表明，牛顿意识到了无穷小概念中包含的困难。如此就缺乏算术明确性，才在第二次数学危机中有激烈的争论。他由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，数学也迎来了一次空前的繁3荣时期。十八世纪被称为数学史上的英雄世纪，这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。它们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。人们用微分学的理论发现了哈蕾彗星，用积分学的理论可以计算任意平面图形的面积，只要知道包围这个图形的曲线方程。在数学本身它们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。因此有些人就对基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。但也因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。贝克莱是一位著名的唯心主义哲学家，不仅如此，他还精通数学，他对于牛顿、莱布尼茨理论中不严格的地方大肆攻击，在他的《分析学者》中他这样指出“Δx一会不等于零，一会儿又等于零，可以说是消失了的增量，就像漂泊不定的鬼魂；由此得到的导数作为Δy与Δx消失了的增量之比，“既不是有限量也不是无穷小量，但又不是无”，从而就不过是消失了的量的鬼魂不具有任何意义”。十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。对无穷级数的收敛、发散含糊不清的情况，L.G.格兰迪（Grandi，1671－1742）提出悖论“从虚无创造万有”，对无穷级数x=1-1+1-1+……的求和问题，一方面，无穷级数x=（1-1）+（1-1）+……=0；另一方面，x=1-（1-1）-（1-1）-……=1，由上得出0=1；在等式两边同乘任何数，就可得0=任何数，这就是被格兰迪称为的“从虚无（0）创造万有（任何数）”。又有人指出因为0和1是等可能的，所以级数的和应为平均数1/2。这样的悖论日益增多，数学家们在研究无穷级数的时候，作出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。拉格朗日为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，曾试图把整个微积分建立在泰勒展式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数的范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力。4首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺，他开始将严格的论证引入到数学分析中。1816年，他在二项展开公式的证明中，明确提出了级数收敛的概念，同时对极限、连续和变量有了较深入的理解。特别是著名数学家柯西的出现，他在数学分析和置换群理论方面作了开拓性的工作。柯西在1821～1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作，在那里，他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。接着，魏尔斯特拉斯引进了精确的极限定义。这样，微积分就建立在严格的极限理论的基础上了。今天我们微积分课本中使用的定义，基本上就是柯西的，不过现在写得更加严格一点。一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε-δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。参考文献：［1］郭运瑞主编；《微积分》；高等教育出版社；2011年7月第1版［2］（美）卡尔·B·波耶著；唐生译：《微积分概念发展史》；复旦大学出版社，2007年6月第一次出版第一次印刷5[3]M.克莱因著；张祖贵译《西方文化中的数学》；复旦大学出版社；2005年1月1日出版[4](美)李维著；黄征译；《数学沉思录：古今数学思想的发展与演变》；人民出版社；2010年8月1日出版[5]M.克莱因著；万伟勋等译；《古今数学思想》第三册；上海科学技术出版社；2002年8月1日出版；2007年11月1日印刷[6]华东师范大学数学系编;《数学分析（上）》第三版；高等教育出版社；2001年6月第三版2010年4月第22次印刷[7]李心灿编；《微积分的创立者及其先驱（第三版）》；高等教育出版社；2007年10月1日出版；版次3;2007年10月1日印刷