第一章 复数和复变函数及其极限

1曹春雷北京理工大学数学学院2复变函数与积分变换的应用背景世界著名数学家M.Kline指出：19世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。3•16世纪，解代数方程时引入复数•17世纪，实变初等函数推广到复变数情形•18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何、物理意义。20世纪191817164•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质•20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。5空气动力学流体力学电学热学•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等领域有重要应用。复变函数论6复变函数与积分变换的主要内容1引论2解析函数3复积分4级数5留数及应用6保角映射7积分变换7第一章复数和复变函数及其极限§1-1复数及其运算§1-2复平面上曲线和区域§1-3复变函数与整线性映射§1-4复变函数的极限和连续8§1-1复数及其运算一、复数的概念及其表示法二Δ、复数的代数运算三*、扩充复平面与复球面9一、复数的概念对虚数单位,作如下规定:;1)1(2i.)2(法则进行四则运算可与实数一起按同样的i,012实数范围内无解，在为了解方程的需要，例如：方程+x数单位。称为虚人们引入了一个新数i10复数.的数称为复数或形如iyxzyixz++,,的实部和虚部为实数，分别称为其中zyx).Im(),Re(zyzx记作;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.,0,0xixzy我们把它看作实数时当+11实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,.zz的共轭复数记为.,iyxziyxz+则即：若共轭复数12二、复数的表示方法（1）定义表示形式构成了一一对应关系。与一对有序实数（这样，复数了复数则完全确定和虚部；反过来，给定实部部和虚，则确定了实部给定复数),,,yxzzyxyxiyxz+.,iyxzziyx++即表示复数用.),不加区别与（因此，yxiyx+13.,.轴纵轴叫虚轴或轴轴叫实轴或通常把横面叫复平面这种用来表示复数的平yx.(),(如图）表示可以用平面上的点复数yxiyxz+（2）复数的平面表示法如图）上的点表示中平面可以用平面直角坐标系我们知道，(),(yx),(yxxyxyoiyxz+14,的模或绝对值该向量的长度称为z.22yxrz+记为xyxyoiyxz+Pr显然成立：,zx,zy.zxy+表示也可用复平面上的向量复数OPiyxz+（3）复数的向量表示法.性：长度、方向向量具有两个重要的属15.Arg,)(arg0zumentzOPz记作的辐角的夹角称为时，则把正实轴与向量当注意1,0有无穷多个辐角任何一个复数z,1是其中一个辐角如果)(π2Arg1为任意整数kkz+,0时当z的全部辐角为那么z辐角不确定，没有辐角.注意2复数辐角的定义16辐角主值的定义.arg,Argππ,)0(000zzz记作的主值称为的把满足的辐角中在kzArgz2arg+,2,1,0k如何确定辐角？已知复数,iyxz+17,0x)2arctan2(xy其中辐角的主值0zzarg,0,0yx,0,0yx.0,0yx,arctanxy,2π,πarctanxy,π18利用直角坐标与极坐标的关系sincosryrx复数可以表示成)sin(cosiriyxz++（4）复数的三角表示法19利用Euler公式irez（5）复数的指数表示法可以表示为：则复数)sin(cosirz+,sincosiei+20例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1(iziz+解zr)1(,4412+,在第三象限因zπ122arctan33arctan,65故+65sin65cos4iz.465ie215cos5sin)2(iz+,1zr显然52cos5sin,103cos52sin5cos,103sin故103sin103cosiz+.103ie22三、复数的代数运算两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数相等的概念212121yyxxzz且定义:设复数复数iyxz111+iyxz222+则23显然有00zz212121argarg0zzzzzz且注：非实数的复数不能比较大小。24的四则运算两个复数222111iyxziyxz++,两个复数的和与差)()(212121yyixxzz+两个复数的积)()(2112212121yxyxiyyxxzz++两个复数的商222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz++++2221zzzz25复数运算的性质;)1(1221zzzz++;1221zzzz321321321321)()()()()2(zzzzzzzzzzzz++++3121321)()3(zzzzzzz++26;)4(2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;)5(zz222(6)Re()Im()||;zzzzz+).Im(2),Re(2)7(zizzzzz+27复数和与差的模的性质;2121zzzz++.2121zzzz,2121故之间的距离和表示点因为zzzz1z2z21zzxyo2z.实轴对称的复平面内的位置是关于在和一对共轭复数zzxyoiyxz+iyxz共轭复数的几何性质1z28例2解,131iiiz设.)Im(),Re(zzzz与求iiiz131)1)(1()1(3iiiiiii++,2123i,21)Im(,23)Re(zz22)Im()Re(zzzz+222123+.2529例3证,,222111iyxziyxz++设复数).Re(2212121zzzzzz+证明2121zzzz+))(()()(22112211iyxiyxiyxiyx++++++)()(21122121yxyxiyyxx)()(21122121yxyxiyyxx+++)(22121yyxx+).Re(221zz2121zzzz或+2121zzzz+.)z2Re(z2130乘幂与方根的三角形式分别为和设复数21zz,sin(cos1111）irz+,sin(cos2222）irz+)sin(cos)sin(cos22211121irirzz++)]sincoscos(sin)sinsincos[(cos2121212121++irr)]sin()[cos(21212121+++irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz+212121zzrrzz31两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.,2倍再把它的模扩大到r从几何上看,两复数对应的向量分别为,,21zz,21旋转一个角按逆时针方向先把z.21zzz就表示积所得向量2oxyr2r1r2z11zz两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.32注意:,ArgArg)(Arg2121不是通常的等式zzzz+而是两个数集相等.即左端任给一值,右端必有值与它相对应；反过来是如此.例如,,121izz设,21izz则),,2,1,0(,2Arg1+nnz),,2,1,0(,22Arg2+mmz),,2,1,0(,π22π)Arg(21+kkzz.1,22)(223+++++nmkknm只须故,1k若.0,22,0nmnm或则33的指数形式分别为和设复数21zz,111ierz.)(212121+ierrzz则,222ierzn个复数相乘的情况:nzzz21),,2,1(,)sin(cosnkerirzkikkkkk+设)]sin()[cos(212121nnnirrr+++++++.)(2121ninerrr++34同样，,02时当z,2121zzzz.ArgArgArg2121zzzz))sin()(cos(121212122222121+izzzzzzzzz))sin()(cos(212121+izz于是35两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.的指数形式分别为和设复数21zz,111ierz.)(212121ierrzz,222ierz则36对于非零复数有：2121zzzz0,22121zzzzz)Arg()Arg()Arg(2121zzzz+)Arg()Arg()Arg(2121zzzz37例4解,3sin3cos1+iz因为,6sin6cos2+iz+63sin63cos21izz所以,i+++63sin63cos21izz.2123i.2121zzzz和求,3cos3sin),31(2121iziz已知38n次幂.,nznzzn记作次幂的的乘积称为个相同复数.个nnzzzz.)sin(cos:,ninrznnn+有对任一正整数.,,1上式仍成立为负整数时则当若定义nzznn,sincos,1izz+即时特别，当nininsincos)sin(cos++deMoivr公式39例5解.)1()1(nnii++化简++ii222221+4sin4cos2iii222221+4sin4cos2i40++nnii)1()1(nni+4sin4cos)2(nni++4sin4cos)2(++4sin4cos4sin4cos)2(ninninn.4cos222nn+41,次方根的的根称为，方程给定复数nzzwzn+++nkinkrzwnnkπ2sinπ2cos1)1,,2,1,0(nk可以推得:n次方根.nz记为从几何上看,,个值就是以原点为中心的nzn.1个顶点边形的为半径的圆的内接正nnrn4243),sin(cosirz+设),sin(cosiw+推导过程如下：)sin(cosninn+)sin(cosir+,rn于是,coscosn,sinsinnπ,2kn+显然),2,1,0(k,π2,1nkrn+故+++nkinkrzwnnπ2sinπ2cos1),2,1,0(k44,1,,2,1,0时当nk:个相异的根得到n,sincos10+ninrwn,π2sinπ2cos11+++