第一章 天线的方向图(上)

《天线原理与设计》讲稿王建29第一章天线的方向图天线的方向图可以反映出天线的辐射特性，一般情况下天线的方向图表示天线辐射电磁波的功率或场强在空间各个方向的分布图形。而相位、极化方向图只在特殊应用中使用。对不同的用途，要求天线有不同的方向图。这一章介绍几种简单的直线天线和简单阵列天线的方向图，以及地面对天线方向图的影响。简单天线涉及元天线、单线行波天线、对称振子天线等。简单阵列天线涉及由同类型天线组成的二元阵、三元阵和多元阵，对简单阵列将介绍方向图相乘原理。线天线的分析基础是元天线。一个有限尺寸的线天线可看作是无穷多个元天线的辐射场在空间某点的叠加。因此这里首先讨论元天线。1.1元天线1.1.1元天线的辐射场元天线又称作基本振子或电流元，它是一个长为的无穷小直导线，其上电流为均匀分布dzI。如果建立如图1-1所示坐标系，由电磁场理论很容易求得其矢量位A为j0ˆ4rzezIdzzArβμπ−=Aˆ=(1.1)图1-1(a)基本振子及坐标系(b)基本振子及场分量取向在求坐标系中，A的表示为ˆˆrrAAAˆθϕθϕ=++A，利用球坐标中矢量各分量与直角坐标系中矢量各分量的关系矩阵sincossinsincoscoscoscossinsinsincos0rxyzAAAAAAθϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢=−⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥(1.2)因，可得0xyAA==cossin0rzzAAAAAθϕθθ⎧=⎪=−⎨⎪=⎩(1.3)《天线原理与设计》讲稿王建30由00j+jωωμε∇∇=−AEAi和01μ=∇×HA，可得基本振子的电磁场各分量为jj02j021jsin(1)4j11jsin[1]4j(j)1cos(1)2j0rrrrrIdzHerrIdzEerrrIdzEerrEHHβϕβθβϕθβθπββηθπββηθπβ−−−⎧=+⎪⎪⎪=++⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪===⎩(1.4)式中，E为电场强度；H为磁场强度；下标、rθ、ϕ表示球坐标系中的各分量。自由空间媒质的介电常数为；12908.85410/10/36/FmFmεπ−−=×磁导率为；70410/Hmμπ−=×相位常数2/βπλ=；λ为自由空间媒质中的波长；00/0ημε=为媒质中波阻抗，在自由空间中0120ηπ=Ω；θ为天线轴与矢量之间的夹角。ˆr由此式，我们可根据场点的距离按场区写出基本振子的电磁场。1.1.2元天线的场区划分任何天线的辐射场都可化分为近场区、中场区和远场区三个区域。对于基本振子来说，这三个区域的划分较为简单，且很容易写出各场区中的辐射电磁场。1.近场区()1rβ在近场区中，由于1rβ，式(1.4)表示的电磁场分量Eθ、和rEHϕ只需取最后一项来近似表示，即j2sin4rIdzHerβϕθπ−=(1.5a)j03jsin4rIdzEreβθηθπβ−=−(1.5b)j03jcos2krrIdzErηπβ−=−eθ(1.5c)0rEHHϕθ===(1.5d)近场区中的电场分量Eθ和在时间上同相，但它们与磁场分量rEHϕ在时间上相位相差。因此，近场区中的电磁场在时间上是振荡变化的。即在某一时刻电场最大时，磁场为零，磁场最大时，电场为零，就如谐振腔中的电磁场一样。它们的时间平均功率流为零，没有能量向外辐射。即o90**11ˆˆRe[]Re[]022avrrEHEHθϕϕθ=×=−WEH*=(1.6)《天线原理与设计》讲稿王建31这种场称为感应场，所以近场区又称作感应场区。在此区域内无功功率占主导地位。因1rβ，可令，则该区中的电磁场表示式(1.5a)~(1.5d)与恒定电流元的场完全相同。1reβ−≈j2.中场区()1rβ随着rβ值的逐渐增大，当其大于1时，式(1.4)中rβ高次幂的项将逐渐变小，最后消失。如果要计算该区中的电磁场，则可取式(1.4)中各场量的前两项。为分析的方便，可取各场量的第一项即可。jjsin4rIdzHerβϕβθπ−(1.7a)j0jsin4rIdzEerβθβηθπ−(1.7b)j02cos2rrIdzEerβηθπ−(1.7c)0rEHHϕθ===(1.7d)对于中等的rβ值，电场的两个分量Eθ和在时间上不再同相，而相位相差接近，它们的大小一般不等，其合成场为一个随时间变化的旋转矢量，矢量末端的轨迹为一个椭圆，即为椭圆极化波，但合成场矢量是在平行于传播方向的平面内旋转。此时的分量为交叉极化场。另一方面，电场分量rEo90rEEθ和磁场分量Hϕ在时间上趋于同相，它们的时间平均功率流不为零。即***111ˆˆˆRe[]Re[]Re[]0222avrrEHEHEHrθϕϕθϕθ=×=−=WEH*≠(1.8)这表明在中场区中有径向方向的向外辐射现象。3.远场区()1rβ该场区中的电磁场分量式(1.4)中只需保留1/r的那一项即可，其它的项均可忽略不计。则远场区中只有Hϕ和Eθ分量，分量忽略不计。因此，基本振子的远区电磁场为rEj0jsin2rIdzEerβθηθλ−=(V/m)(1.9a)jjsin2rIdzHerβϕθλ−=(A/m)(1.9b)0rrEEHHϕθ====(1.9c)导出基本振子远区辐射场表示式(1.9a)和(1.9b)的过程较繁，这里给出一种快速求天线远区辐射场的方法。若已求得天线的矢量位A，则其远区辐射场可由如下公式快速求得01ˆjrωη=−⎧⎪⎨=×⎪⎩EAHE(1.10)《天线原理与设计》讲稿王建32由于传播方向为径向方向，式中电场只计ˆrEθ和Eϕ分量。由基本振子的远区辐射场公式(1.9a)和(1.9b)，可得如下特点：(1)在给定坐标系下，电场只有Eθ分量，磁场只有Hϕ分量，它们相互垂直，同时又垂直于传播方向。见图3-1(b)。ˆr(2)电场和磁场分量都有因子，实际上所有天线远区辐射场均有此因子。j/reβ−r(3)空间任意点处的电场和磁场相位相同，等相位面是一个球心在基本振子中心点的球面，即相位方向图是一个球面。(4)电场Eθ分量与磁场Hϕ分量的比值等于媒质中的波阻抗。0EHθϕη=(1.11)(5)适当建立坐标系，使基本振子轴与z轴重合，则其辐射场只与θ角有关，与ϕ角无关。即基本振子的辐射场是旋转对称的。1.1.3元天线的辐射方向图重写式(1.9a)为j0j2rIdzEerβθ()Fηθλ−=(1.12)式中，()sinFθθ=(1.13)为元天线的方向图函数或归一化方向图函数。其含义是：在半径为r的远区球面上，基本振子的远区辐射场随空间角θ为正弦变化。由此可画出其空间立体方向图和两个主面(E面和H面)的方向图，如图1-2所示。(a)立体方向图(b)E面方向图(c)H面方向图图1-2基本振子的方向图说明：(1)在振子轴的两端方向(0,θπ=)上，辐射场为零，在侧射方向(/2θπ=)辐射场为最大。(2)基本振子的方向图函数与ϕ无关，在垂直于天线轴的平面内辐射方向图为一个圆。(3)根据E面和H面方向图的定义，平面内的方向图为E面方向图(E面方向图有无穷多个)，yzxy平面内的方向图为H面方向图。(4)与理想点源天线不同，基本振子(元天线)是有方向性的。《天线原理与设计》讲稿王建331.1.4元天线的辐射电阻、方向性系数和有效面积由元天线的远区辐射场表示式(1.9a)和(1.9b)及辐射功率表示式(0.6)，可得基本振子的辐射功率为2*2200000114ˆ||sin()223rsIdzPrdsdErdππθπηϕθθ22ηηλ=×⋅==∫∫∫∫EH(1.14)由式(0.24)可得基本振子的辐射电阻为22280()rrPRIπ2dzλ==(1.15)由式(0.18)可得基本振子的方向性系数为2021.5()sinDFdπθθθ=∫=(1.16)由式(0.73a)可得基本振子的有效面积为223()48eSDλλππ==(1.17)1.2有限尺寸天线的场区划分前面对无穷小的基本振子(元天线)讨论了其场区划分，主要目的是分析基本振子在各区中的电磁场分布，从而了解其辐射机理。即■在感应近场区中，电磁场在时间上相位相差，在某一时刻电场最大时磁场最小，磁场最大时电场最小，为振荡电磁场，没有向外辐射的能量；o90■在中场区中，开始有向外辐射的能量，但存在交叉极化电场分量，使得在平行于传播方向的平面内的合成电场为椭圆极化波；rE■在远场区中，适当坐标系下的辐射电磁场只有Eθ和Hϕ分量，在时间上二者同相，空间上它们互相正交并垂直于传播方向，形成线极化辐射波。对于有限尺寸的天线，围绕天线的空间也分为三个场区，即感应近场区，辐射近场区(或叫做菲涅耳区)和远场区。这与基本振子的三个场区的划分有所不同，划分的标准也不同。由于天线有一定大小，场区将以天线的线尺寸来划分。在分析有限尺寸天线的远区辐射场问题之前，有必要讨论其三个场区的划分问题。这不仅有助于分析天线的远区辐射场，而且对天线测量中收发天线之间的摆放距离有一定的指导意义。为简单起见，这里以细直导线为例来讨论。假设细直导线天线的全长为2l，如图1-3所示并建立坐标系，其上电流分布为()Iz′，由式(1.1)表示的基本振子矢量位A沿天线整个长度积分得j0ˆ()4RllezIzRβμπ−−dz′′=∫A(1.18)《天线原理与设计》讲稿王建34式中，R为天线上某点(,,xyz′′′)与观察点(,,xyz)之间的距离，在如图3-3(a)坐标系下，，则R的表示为0xy′′==22222()()()()2Rxxyyzzxyzz′′′=−+−+−=++−′(1.19)(a)天线与场点的实际几何关系(b)远场近似处理的几何关系θθ′=图1-3有限尺寸天线与场点的实际几何关系和远场近似处理只要天线上电流分布()Iz′已知，由式(1.18)和(1.10)就可得到天线在观察点的远区电磁场。对于任意位置的观察点来说，式(1.18)很难得到一个闭合形式的表达式。如果天线上电流为正弦分布，则式(1.18)能够简化得到一个闭合形式的表达式，这将在后面介绍。现在不讨论天线上的电流分布如何，只讨论观察点所处位置(区域)对式(1.18)积分的简化问题。由观察点到坐标原点的距离22rxyz2=++，及关系式coszrθ=，式(1.19)可写作22222cos2cos1zrzRrzrzrrθθ′′−′′=+−=+(1.20)采用二项式展开，可把上式写成级数形式2322cossincossin22zzRrzrrθθθθ′′′=−+++2(1.21)上式R的取值不同主要影响式(1.18)中被积函数的相位。因此，下面主要根据相位因子jReβ−中的Rβ满足给定的相位要求来确定场区。1.2.1远场区在远场区中一般取式(1.21)的前两项，即cosRrzθ′−(1.22)被略去的最大项为第三项，当/2θπ=时，该项出现最大值，即222/2sin22zzrrθπθ=′′=(1.23)此时第四项变为零，可以证明式(1.21)中未写出的其余高阶项也为零。这说明取《天线原理与设计》讲稿王建35近似表示式(1.22)的最大误差由式(1.23)给出。对大多线尺寸大于一个波长(2lλ)的实际天线，业已证明：不超过/8π弧度的相位误差对辐射场的求解精度影响不大。以此为标准来确定天线的远场区，即最大相位误差满足228zrπβ′≤(1.24)对如图1-3所示的直线天线，取zl′=±，可得线长度为2的天线的远场区满足条件2(2)2lrλ≥(1.25)此式条件对口径天线也适用，不论是喇叭天线、反射面天线还是平面阵列天线等，如果其最大口径尺寸为D，则其远场区条件应满足22/rDλ≥(1.26)以上分析说明，只要观察点处于远场区，则其相位因子jReβ−中的R可由式(1.22)表示，而式(1.18)被积函数分母上的R可用Rr来近似。这种简化称为远场近似，即(1.27)cosRrzRrθ−′对相位对幅度⎨⎧⎩在几何上，取近似cosRrzθ′=−，表示由天线上某源点到远区观察点的径向矢量R与由坐标原点到观察点的径向矢量平行，如图1-3(b)所示。而rcosrRzθ′−=为两条射线的距离差，称为波程差。1.2.2辐射近场区