从割圆术到微积分

1从割圆术到微积分丹阳市鹤溪中学杨松扣一.圆据神话传说，盘古开天辟地时，他的眼珠化为日月两轮，又圆又大。什么是圆呢？古今中外，文人墨客对它给出了众多的褒贬不一的描述，象光滑、圆滑、圆满等，人们时常把圆作为完满美丽的象征。《墨经》中给圆下了个非常恰当的定义，那就是：“圆，一中同长也。”怎样画圆呢？上古时期的女娲就是手执“规”的神，她教会大家用圆规画圆。圆，又是由什么样的图形演变而来的呢？《周髀算经》中写道：“数之法出于圆方，圆出于方。”“环矩以为圆，合矩以为方。”“方数为典，以方为圆。”生产实践中经常会遇到求圆的周长的问题，周长的计算涉及到一个圆周率π，古人根据经验一直沿用“周三径一”。实践中发现，周三径一并不是圆周长与直径的关系，而是圆内接六边形的周长与直径的比值。公元三世纪，我国数学家刘徽对这个问题作了深入的研究，运用他的话说：“周三者，从六觚之环耳。”（觚──正多边形的一边；环──周长）二.割圆术刘徽通过长年累月的研究后发现，古代的圆周率π＝3实在是不精确，甚至是错误的，然而不能提出可靠的论据，就没有说服力。取得论据是非常艰难的，不过刘徽毕竟从研究方与圆的关系中获得了成功，他在为《九章算术》作注时谈到：“学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方，方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。”刘徽进行长期的追本觅源，刻苦钻研，终于悟出其中的真谛实义，创造出震惊中外数坛的“割圆术”。何为“割圆术”？刘徽是从正六边形开始运算，令边数一倍一倍地增加，边数变为212，24，48，96，192，…，逐个算出六边形、十二边形、二十四形、……的边长，然后乘以边数得到周长，逐步地逼近圆的周长，则正多边形的周长与圆的直径的比值就逐渐接近圆周率。刘徽的这种方法是随着边数的增加无限地接近圆周率，但仍然要比圆周率小。虽然刘徽的割圆术还没有精确地算出圆周率，但它的精髓所在，是寓于其中的一种光辉创见，实际上引出了极限的概念。正是应用割圆术，配合勾股术，才使刘徽之后的祖冲之求出实用而准确的圆周率成为可能，也与后来的“微积分”的基础理论相吻合。关于方与圆的关系，古数学家赵君卿说过一段话，其大意是说：方形的面积好算，圆形的面积则难算，这是因为计算方形有固定的方法，而圆形变化很大，因此要推导一种计算方法。割圆术的可贵之处正是刘徽巧妙地运用了“方形好算，圆形难算”这个特点，与赵君卿的想法不谋而合。把圆看成边数是无穷的正多边形，它是待求的，末知的，而边形有限的正多边形则是可求的，已知的。用有限来逼近无限的方法实际上是总结了以下的一段话：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣！”刘徽的割圆术说明：如果圆的内接正多边形的边数无限增加，那么正多边形的周长就无限地接近圆周长。三.连续水的流动，汽车的运行，星球的运转都说明了一个自然现象──连续。事实上，这种连续与数学有着密切的联系。通俗地说，一个函数的图象在一个区间上是连续不断的，则称这个函数是这个区间上的连续函数。中学中所学的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数我们称为初等函数，由这些初等函数和常量经过有限次的初等运算，以及有限次的函数复合步骤构成的初等函数，在其定义的一个区间上都是连续的。3这个性质是非常重要的，因这我们所讨论的函数主要是初等函数（或根据定义区间的特征成为分段连续函数，如x1)x(f，则有：0xxlimf(x))x(f0利用函数的连续性来进行极限运算，则是非常的简单和方便，如：2x0limx3x11又如：x0xlim1x1x0lim(1x1)2四.圆锥的体积计算目前中学数学中计算圆锥体体积是使用祖日恒原理，把它与三棱锥体积建立联系，用等底等高的两个锥体（圆锥或棱锥）体积相等来计算。九百年前，宋朝科学家沈括发现前人所推导的圆锥体体积计算的是带有空隙的垛体体积，因而计算是不准确的。沈括在确定梯形平台的体积时，创立了二阶等差级数的求和法，具体操作分为以下四个步骤：1.化整为零将圆锥体分成n个较薄的等高圆台（最上一个实际上是圆锥）。2.以不变代变要分别算出这些圆台的体积，虽然不知道圆台体积是怎么算，但圆柱体积是底面积乘以高。由于圆台的直径随高度而变，我们姑且假定它是不变的，那么算出来的结果并不是圆锥体的体积，而是带有一定的空隙的体积，不妨称为隙积，记为V隙。把圆锥分成n个等高的部分，每个部分都近似看成一个圆柱体，则每部分的高均为hn，自上而下的半径依次为hn，2hn，3hn，……，(n2)hn，(n1)hn，第一个圆柱体体积为223rhrh()()nnn；4第二个圆柱体体积为22232rh2rh()()nnn；第三个圆柱体体积为22233rh3rh()()nnn；……第n-2个圆柱体体积为2223(n2)rh(n2)rh()()nnn；第n-1个圆柱体体积为2223(n1)rh(n1)rh()()nnn3.积零为整将这些圆柱体的体积加起来，则V隙＝222223rh[12(n2)(n1)]n整理可得：V隙＝3222n3nnrh6n34.从近似到精确隙积本为实积（圆锥体的体积，记为V锥）的不足近似值，如果把整个圆锥体分得极为细微，分得愈细，则空隙愈小，隙积就愈接近实积，则当n趋向于无穷大时，则近似值转化为精确值，即象刘徽所说的：“……合体而无所失矣！”。∴V锥＝nlimV隙＝nlim3222n3nnrh6n3＝2rh35以上推导过程完全是按刘徽的割圆思想进行的，先化整为零，然后再积零为整，得到精确的答案。五.导数及其几何意义电流强度是表示电流强弱的一个物理量，为了刻划各个时刻的电流强弱的不同特征，需要引入瞬时电流强度的概念，假如某一时刻t从导体的指定横截面通过的电量为Qf(t))，则从时刻0t到0tt通过导体的这一横截面的电量为00Qf(tt)f(t)因而这段时间内的平均电流强度为t)t(f)tt(ftQ00当0t时，这个平均的电流强度的极限就给出了0t时刻的瞬时电流强度0I0tlimtQ0tlimt)t(f)tt(f00一般地，若函数)x(fy在x0附近有定义，且00yf(xx)f(x)，则x)x(f)xx(fxy00，若当△x→0时极限存在，则称y＝f(x)在x0处可导，这个极限称为x0处的导数，记为f'(x0)。即：f'(x)＝0xlimxy0xlimx)x(f)xx(f00在点x处求得的导数)x('f是随着x的变化而变化，所以)x('f可以看成一个新的函数，称为原函数)x(fy的导数，记为)x('f。一个连续函数)x(fy上取一个定点M(x0，y0)，一个动点M'(x0+△x，f(x0＋△x))，6则有：'MM000000kx)xx()x(f)xx(fx)x(f)xx(fxy（直线MM'的斜率）动点M'沿着曲线向M运动，当△x→0时，即M'无限地逼近M时，割线MM'变为M处的切线，极限值即为y＝f(x)在x0处的导数，它表示曲线在M处的切线的斜率。六.连续函数的单调性与极值日常生活中，人们走的道路并不是完全平坦的，可能会遇到上桥和下地道的情况，更一般的就是上坡和下坡。如果把一条道路看成是某一个函数的图象，则上坡的这一段是单调递增的，下坡的这一段则是单调递减的，不难发现，上坡的那一段在任意位置的切线的斜率都是大于零的，而下坡的那一段上任意一点的切线的斜率都小于零，若忽略端点情况，则当0)x('f时函数是单调递增的，而当0)x('f时函数则是单调递减的。如3x2x)x(f2，有2x2)x('f则当x∈(1，＋∞)时，0)x('f，则)x(fy是递增的，当x∈(－∞，1)时，0)x('f，则)x(fy是递减的。又如xx)x(g3，有01x3)x('g2，从而在R上都是单调递增的。从曲线的单调区间上来看，一个函数在某一点从左到右从增函数不间断地变为减函数，在这一点必可以取到极大值，反之则可以取到最小值，因此使0)x('f的点必是一个极值点。如)x1(x)x(fx∈[0，1]0x21)'xx()x('f2，即当21x时取到极大值。7事实上，41)2)x1(x()x1(x)x(f2当且仅当x＝1－x，即21x。七.积分的应用前面已经说到刘徽的割圆术的思想是先化整为零（微分），然后积零为整（积分）。一个函数)x(Fy的导数为)x(fy，则称)x(fy是)x(Fy的导数，反之)x(Fy称为)x(fy的积分，记为dx)x(f)x(f，需要说明的是)x(F不是唯一的，它是一个曲线系。下面讨论积分的一些常见的应用。①已知曲线的斜率，求出曲线的方程例1.若某曲线的切线斜率为x，并且过定点M(2，－1)，求曲线的方程。解：∵x)x(f∴Cx21xdx)x(F2又曲线过定点M(2，－1)∴C2413C∴32x)x(F2即曲线的方程为06y2x2②求曲边图形的面积例2.求3x4xy2与x轴之间的面积。解：令0y则1x或3x8∴312dx)]3x4x(0[S312dx]3x4x[3123|]x3x2x31[)1231()9189(34例3.求被x2xy2和2x4y包围的部分的面积。解：联立曲线的方程便得到：22x4x2x解得1x或2x∴dx)]x2x()x4([S2221212dx]x2x24[2132|)x32xx4()3214()31648(9③体积的计算例4.已知圆锥的底面半径为R，高为H，求它的体积。解：如图所示：dxrdV2HRxr即有HRxr∴dxxHRdx)HRx(dV2222rRxH9dxOrxRdsOrxR从而有：H0222dx]xHR[V3HR|xH3R2H0322例5.已知球的半径是R，求它的体积。解：如图：22xRrdx)xR(dxrdV222RR22dx)]xR([VR0R022dxx2dxR2R032|]3xxR[23R4]3RR[2333④求曲线的长例6.求半径为R的圆的周长。解：建立如图所示的坐标系，则圆方程为：22xRy2222xR2x2)'xR('y22xRx10dxxRRdxxRx1dx)dxdy(1ds222222令sinRx，]2,2[则有：RddcosRcosRR)sinR(dcosRRds∴R2|R4Rd4Rd2dx2x2RR2SRR222020八.微积分在力学中的应用在实际生活中，导数是专门讨论变化率的。在运动学中，速度是位移的变化率，加速度则是速度的变化率，即若位移)t(fS，则速度)t('fv，而加速度则是)t(''fa。在匀加速运动中：dtdva，则有adtdvCatadtdvv若当0t时，0vv∴atvv0又dtdsv，有vdtds∴dt)atv(vdtdss0'Cat21tv20一般地有0t时0s，即0'C∴20at21tvs11微积分学的基础是由牛顿和莱布尼茨同时奠定的，他们对微积分的创立具有不可磨灭的贡献，然而他们并不是从相同的角度来研究微积分的，牛顿是从力学的角度，而莱布尼茨则是从几何的角度，而这两门学科的运算方法具有共同点。如曲线的斜率与质点的速度都可抽象成：)x('f0xlimxy0xlimx)x(f)xx(f00而后随着微积分学的进一步发展，它已渗透到更多的学科，在各个不同的领域发挥着巨大的作用，这些都是刘徽在研究割圆术时所万万没有想到的。