2017年高考数学复习-多元变量的处理方法

1多元变量的常见处理方法多变量最值问题是一种常见的题型，也是高考的热点.本文给出了解决多变量最值问题的常见求解策略，从例题的解答和分析中可以看出，解答这类问题的关键是能运用数学基础知识、数学思想方法，灵活解决问题.一:基本不等式法.例1.已知0,0,228.xyxyxy则2xy的最小值是_____.解：22228.8(2)2()24.2xyxyxyxyxyxy例2.若2,,0,22412.abcaabacbc且则abc的最小值是______.解：22222()2224221223.abcabcabacbcabcabacabc例3：已知,,abR且2,ab则2221abab的最小值是_______.解：22221212,(1)2111121112(1)12(1)()(1)1[3]1[32]1331313226221.33ababababababbabaabababab（等号成立的条件在这里不赘述了。）例4：设x,y均为正实数，且331,22xy求xy的最小值。解:3313(2)3(2)(2)(2)8222816.yxxyxyxyxyxyxy检验等号成立的条件.练习:1.(2015通泰淮扬)已知正实数x，y满足24310xyxy，则xy的取值范围为▲．提示:1010241111111031012423334443810310.2244433383xyxyyyxyxyxyyyyxyxxyyyxyxyxyxyxyyy22.(2015苏州13)．设,xy均为正实数，且1111+23xy，则xy的最小值为11+62▲．二：变量分离法。多元变量问题中，常用的方法之一就是将其中的一个变量分离出来，通过对一边表达式的范围的确定得到另一边的范围。例5.不等式1|||2|sinxayx对一切实数x,y均成立，则实数a的取值范围是_________.解：变量分离得11||sin|2|.||sin211|2|113.xyaxyxxaa例6.设0,0.xy不等式110mxyxy恒成立，则实数m的最小值是_______.解：很容易得到11()()2,2444.yxyxmxymxyxyxym练习:已知不等式xy≤，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是[1,).．三：消元法多元变量最值问题的难点很多时候在于变量的个数,如果研究条件等式,发现很多情况下可以对变量做个减法,三元变二元,二元变一元,就可以化归为我们熟悉的问题了.例7.已知0,0,228.xyxyxy则2xy的最小值是_____.解：8282(21)228222121221999121211221212121922(21)4.21yyyxyxyxxyyyyyyyyyyyyyy例8.设x,y,z为正实数，满足230,xyz则2yxz的最小值是______.解：由已知条件得32xzy代入原式222323()()223xzxzyxzxzxz。所以最小值为33评析：多元变量往往通过减少变量的个数，转化成求函数值或者其他多元变量问题.例9:已知,,abR且2,ab则2221abab的最小值是_______.解：由222222(2)212,2,1336223abaaabbaabaaaa（最后一步权方和轻松搞定，当然也可以通过求导来做。）例10:（群里老师问过这个题目）已知222,,,1,3,xyzRxyzxyz则xyz的最大值是______.解：由22222221,113,31xyzxyzxyzxyzxyzxyzz（这里是韦达定理的形式）22,(1)(1)0xytztzz是的两根。25501.(1),1.33zxyzzzzz三次函数，求导画图就可以求出最值了5.27例11：设x,y均为正实数，且331,22xy求xy的最小值。解：333(2)3(2)912,[2]9.221113331,0,01,1.22299911016(4=)11xxyxyxxxyxxxandxyxxyxxyxxxxx时取胆子大的，就对称变量吧。练习：1.（2014~2015宿迁剑桥中学）设正实数zyx,,满足04322zyxyx，则当zxy取得最大值时，2xyz的最大值为______2___2.（2015盐城）设0x，0y且21xy，则223xy的最小值为12▲．四:换元法4例12.（群里老师问过这个题目）22425,xxyy求223xy的最值.解法1.225cos15152()25sin5cos243215sin3xyxyxyx2222251015320sinsin25cossincos33651cos21cos251525sin23223705155(sin2cos2)3337020sin(2).33xy结果就明显了.解法2.设2222222222cos3(0),3sin4sincos25(cossin)33711[(sin2cos2)]6623715[sin(230)]63630.rxxyrryrrrrrr最小值也明显.解法3.22222223(475)()()2504250,4(475)(25)15700750005030.3xytyytttxxyyxxtttttt5法四:法五:练习:设x，y都是正数，若2242,xyxy则，2xyxy的最大值是1712五：分解因式（参阅王耀老师的论文）例13.若2,,04,abcaabacbc且则2abc的最小值为______.解：由2,,04,abcaabacbc且得()()4.2()()2()()4.acababcabacabac当且仅当acab时，等号成立。例14.若,,xyz为正数，且()1,xyzxyz则()()xyyz的最小值为_______.解：2()()()2()2.xyyzxyyzyxzyxyzxzxyzxyz当且仅当()yxyzxz时，等号成立。练习:1.(通锡苏学大密卷)62.2014常州信息卷2.已知,ab均为正实数，若()1,abab则24aabb的最小值是__4___.六：分母整体换元例15，（13镇江改编）已知x，y为正数，则yxyyxx322最大值为_________。323423422552()44242abxaxyabbabxybaabybaab令原式(注意等号成立的条件)例16：(2015前黄中学)若0,0ab，且11121abb+++，则5ab+的最小值为72▲．方法一:可以用前面的消元法;方法二:可以用整体换元;方法三:基本不等式法,方法四:分母整体换元解:令1219955(1)2122211911191991997(9)1(9)()[19][102]222222222xyabxaxyxyabybybyyxyxxyxyxyxyxy练习:1.2.(2015南京)已知x，y为正实数，则4x4x＋y＋yx＋y的最大值为43▲．七:增量换元.7例17:已知二次不等式ax2＋2x＋b＞0的解集｛x｜x1a｝，且a＞b，则22abab的最小值为________．解析:很容易得到1,0,abab可设2222()2()2(0)22.abababxabxxababx当且仅当62622,,22xab时成立.今天讲解的方法很常规,也能解决一些中档的题型,较难的题型就期待各位伙伴去整理吧.我们一起分享,一起进步!