第六章 方差分析(2)

一、双因素交叉分组试验设计的描述（一）双因素试验的数据描述（二）观测值的描述（三）平方和与自由度的分解（四）平方和的简便计算公式（五）各项均方的计算第三节双因素方差分析B1B2…BbA1x11x12…x1bT1.A2x21x22…x2bT2.┆┆┆…┆┆┆Aaxa1xa2…xabTa.总和T.jT.1T.2…T.bT平均数…因素A因素B总和Ti.平均数ix1x2xaxjx1x2xbxx无重复观测值的双因素数据资料（一）双因素试验的数据描述B1B2…Bbx111x121…x1b1x112x122…x1b2┆┆┆┆x11nx12n…x1bnx211x221…x2b1x212x222…x2b2┆┆┆┆x21nx22n…x2bn┆┆┆…┆┆┆xa11xa21…xab1xa12xa22…xab2┆┆┆┆xa1nxa2n…xabn总和T.jT.1T.2…T.bT平均数…AaTa.A2T2.因素A因素B总和Ti.平均数A1T1.ix1x2xaxjx1x2xbxx具有重复观测值的双因素数据资料（二）观测值的描述对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述ijkijijkijijijijkxAiBjAiBi其中表示所有观测值的总平均数表示因素第水平的处理效应表示因素第水平的处理效应表示因素的第水平和因素第水平的交互效应表示随机误差（三）平方和与自由度的分解1、平方和的分解总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起的平方和SSAB、误差平方和SSeA因素误差平方和B因素误差平方和AB交互作用误差平方和随机误差项平方和2bBjj1anxxSS2aAii1bnxxSSab2AB11nxxxxijijijSSabn2ijkij111SSexxijk（）2、平方和的分解与平方和相应的自由度分别为：总自由度：dfT=abn-1A因素处理间自由度：dfA=a-1B因素处理间自由度：dfB=b-1交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1)处理内自由度：dfe=ab(n-1)dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe（四）平方和的简便计算方式abn2Tijk111SSxCijkabnab22ijkijTABAB111111SSexxSSSSSSSSnijkija2Aii11xCbnSSb2Bjj11xCanSSab2AB11nxxxxijijijSS（五）各项均方的计算2BBBBb1SSSSSdf21TTTTSSSSSdfabn2a-1AAAASSSSSdf2abn-1eeeeSSSSSdf（）2BBBa-1b-1AAAASSSSSdf（一）无重复无交互作用实验的双因素方差分析1、观测值的描述2、提出假设ijkijijab2ijiji1j1xi1,2...;j1,2...;00N0ab，其中，，；；为相互独立且服从正态分布，的随机变量0H,0H0H,0HiA2i02iA1i01：：：：二、不同实验类型的双因素方差分析3、检验统计量的计算在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以做分母用F分布的上尾检验，拒绝域为FFα2es22ABAB22eeSSFFSS（二）重复试验固定模型的双因素方差分析1、观察值的线性统计模型2、提出假设ba...,2,1j;...,2,1i0H0H0H,0H0H,0HijA3ij03iA2i02iA1i01，，，其中）：（，）：（：：：：ijkijijkijxi1,2...;j1,2...;k1,2...;abn，其中，，，3、检验统计量的计算计算平方和(SS)AB交互作用误差平方和随机误差项平方和在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计量均以做分母：用F分布的上尾检验，拒绝域为FFαabn2ijkij111SSexxijk（）ab2AB11nxxxxijijijSS2es222ABABABA222eeeSSSFFFSSS（三）重复试验随机模型的双因素方差分析1、观察值的线性统计模型2、提出假设;...,21k;...,21j;...,21iyjkijijiijknba，，，，其中ba...,2,1j;...,2,1i0H0H0H,0H0H,0H2A32032A22022A1201，，，其中：，：：：：：3、检验统计量的计算在F检验时，A因素、B因素主效应的检验统计量是以做分母；互作效应的检验统计量以做分母用F分布的上尾检验，拒绝域为FFα注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度与固定效应不同2ABs222ABABABAB222ABABeSSSFFFSSS2es（四）混合模型（以A为固定因素、B为随机因素为例）在混合模型中，A、B因素的效应为非可加性，为固定效应，为随机效应对A做检验时，统计量的计算方法按照随机模型的统计量计算方法，对B及AB交互效应做检验时，统计量的计算方法按照固定模型的统计量计算方法。ijij原料种类(A)温度（B）30℃35℃40℃1414923251113252462226182475950404338333682214183355350433847445533262930例5用不同原料与不同温度发酵的酒精产量本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验应视为重复，它们之间的差异是由随机误差所造成的题解发酵实验方差分析表变差来源平方和自由度均方F原料A温度BAB误差1554.183150.50808.821656.5022427777.091575.25202.2161.3512.67**25.68**3.30*总和7170.0035查F分布表，得：F0.95(2,27)≈F0.95(2,30)=3.316,F0.99(2,27)≈F0.99(2,30)=5.390,F0.95(4,27)≈F0.95(4,30)=2.690,F0.99(4,27)≈F0.99(4,30)=4.018,∴FA,FB均达极显著，标上“**”，FAB只达显著，标上“*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵温度。F测验在固定效应模型中，若各F统计量有达到显著或极显著水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合。例如在上例中，我们已经发现原料，温度以及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比较了。各处理间进行多重比较如果有交互作用存在，则一般需要把所有ab个水平组合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用Duncan法。把各处理平均数从大到小排列(记为x1～x9)：49,46,45.25,37.5,34.5,27,18.25,18,15.5，求出各对差值，列成下表：多重比较x9x8x7x6x5x4x3x2x1x2x3x4x5x6x7x833.530.529.75221911.52.752.5312827.2519.516.590.2530.7527.752719.2516.258.75221918.2510.57.514.511.510.75311.58.57.753.750.753求得：，df=272x/61.35/43.9163eSSn查Duncan检验的r值表，df=27,k=2~9,Kr0.05R0.05r0.01R0.01234567892.913.053.143.213.273.303.343.3611.4011.9412.3012.5712.8112.9213.0813.163.924.104.204.294.354.404.454.4915.3516.0616.4516.8017.0417.2317.4317.58Duncan检验的r值x9x8x7x6x5x4x3x2x1x2x3x4x5x6x7x833.5**30.5**29.75**22**19**11.52.752.531**28**27.25**19.5**16.5**90.2530.75**27.75**27**19.25**16.25**8.7522**19**18.25**10.57.514.5*11.510.75311.58.57.753.750.753分析：从这一差值表中可见，x1至x5，除x1至x5外相互间都没有显著差异。但x4，x5与其他3个值差异相对大一些。x6至x9差异均不显著。而x1，x2，x3与x6~x9差异均达极显著。另外，x1，x2，x3以及x7，x8，x9之间的差异都很小。由于现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要关心x1，x2，x3。从以上分析中可知，基本上可把x1，x2，x3视为无差异x1，x2，x3视为无差异当交互作用存在时，对固定模型若不设置重复，则无法把SSAB与SSe分开，这样将无法进行任何统计检验。因此在固定模型中有交互作用时，不设置重复的试验是无意义的。对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。几点注意事项：例6：随机选择4个小麦品种，施以三种肥料，小区产量列于下表，该问题属于哪种模型？从方差分析的结果可得出什么结论？肥料种类小麦品种不同条件下小区产量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.4224.022.021.7314.213.312.3431.531.427.5题解解：本题影响产量的因素包括肥料种类和小麦品种。该问题属于混合模型中无重复的两因素分组交叉分析。xixj肥料种类小麦品种不同条件下小区产量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.419.5224.022.021.722.57314.213.312.313.27431.531.427.530.1322.721.1820.23变差来源平方和自由度均方统计量F小麦品种442.173147.39115.02**肥料种类12.4726.244.87误差7.6961.28总和462.3311小麦品种间差异极显著，肥料间无显著差异。例7：用两种不同的饲料添加剂A和B，以不同比例搭配饲养大白鼠，每一种饲料添加剂取4个水平，每一处理设两个重复。大白鼠增重结果列于下表。请进行统计分析，并回答下列问题。添加剂B添加剂A不同条件下大白鼠增量/g1234132，3628，2218，1623，21226，2429，3327，2317，19333，3930，2433，3723，27439，4331，3528，32`36，34该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对分析结果有无影响？若实验本身是固定模型，但分析时误认为随机模型，对结论有何影响？若不设重复，又有何影响？题解：（1）该实验可能属于固定模型、随机模型、混合模型。取决于添加剂本身的性质，即添加剂的效果能否严格重复。（2）分析：固定模型下：xixjajaiB123413425172224.522531251824.7533627352530.7544133303534.75342926.752528.69变差来源平方和自由度均方统计量FA592.