弹性力学总结 上海大学课件

两类平面问题平面应力平面应变几何特征受力特征应力特征几何特征;受力特征;应变特征。体力、面力、应力、形变、位移基本假定：（1）连续性假定；（2）线弹性假定；（3）均匀性假定；（4）各向同性假定；（5）小变形假定。（注意：符号规定）基本概念：两类平面问题及其特征名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量位移应变应力外力几何形状xyyx,,0zxyz)(yxzExyyx,,0zxyz0zxyyx,,0zxyz0zxyyx,,0zxyz()zxyvu,0wvu,0w体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿z向不变化。z方向的尺寸远小于板面内的尺寸（等厚度薄平板）z方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）圣维南原理圣维南原理的要点：（1）小部分边界（次要边界）；（2）静力等效；（3）结果影响范围：近处有影响，远处影响不大。圣维南原理的应用：（1）面力分布复杂的边界（次要边界）如：集中力，集中力偶等；（2）位移边界（次要边界）；基本原理：叠加原理平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：xyyx,,xyyx,,vu,——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：应变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件（2）位移边界条件平面问题的基本方程平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx几何方程：yuxvyvxuxyyx物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1(2未知量数：vuxyyxxyyx,,,,,,,8个方程数：8个（平面应力）平面问题的边界条件vvuuss,YlmXmlsxysysxysx)()()()(位移边界条件应力边界条件边值条件平面应力平面应变E21E1两类平面问题物理方程的互相转换：平面问题的基本求解方法及基本方程（1）按位移求解基本方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE位移表示的平衡方程vvuuss,YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122位移表示的应力边界条件位移边界条件（2）按应力求解基本方程：00YyxXyxyxyyxx平衡方程yYxXxyyx)1()(2222相容方程基本控制方程（平面应力情形）YlmXmlsxysysxysx)()()()(应力边界条件边值条件（5）按应力求解的应力函数法基本方程：024422444yyxx（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。04YlmXmlsxysysxysx)()()()(应力边界条件相容方程应力分量Yyxy22Xxyx22yxxy2（常体力情形）说明：（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。（1）逆解法（1）假设满足相容方程的φ(x,y)的形式；（2）——主要适用于简单边界条件的问题。求出应力分量（具有待定系数）；xyyx,,（3）利用边界条件和边界几何形状，考察应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力，得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。（2）半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；xyyx,,（2）根据与φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；xyyx,,04（3）求出，并让其满足边界条件和位移单值条件。xyyx,,求解方法——逆解法与半逆解法关于平面问题的变形协调方程（相容方程）yxxyxyyx22222yYxXxyyx)1()(2222(平面应力情形)0)(2222yxyx024422444yyxx形变表示的相容方程应力表示的相容方程应力函数表示的相容方程(基本形式)(常体力情形)适用情形：小变形、任意弹塑性材料。(常体力情形);,,144321yCxCyCxCCxCxyyx（1）;2,,222Cxyybxaxyxyyx（2）下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。思考题1.2.试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。lhhyx例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：0,1ml0YXYlmXmlsxysysxysx)()()()(代入应力边界条件公式0hxxyhxxy右侧面：0,1ml0,YyX代入应力边界条件公式，有00hxxyhxx上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：dxyhhy0)(sinP对O点的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：xyy,必须按正向假设！yPxyyx上端面：（方法2）取图示微元体，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP0xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可见，与前面结果相同。注意：xyy,必须按正向假设！由微元体的平衡求得，ABCxyhp(x)p0lN例2如图所示，试写出其边界条件。例2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：1,0ml0)(,0plxxpYX代入边界条件公式，有0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2)AC段（y=xtanβ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm)(0)1(0)1(0xpyxyxyxN例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：——平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。即0YXAB边界：111sin,cosml由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(0cossin0sincos1111xyyxyx（1）AC边界：12122sincoscosml代入应力边界条件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴满足式（1）和（2），解得0xyyx∴A点处无应力作用例5图示楔形体，试写出其边界条件。0YXsin)90cos(lYlmXmlsxysysxysx)()()()(cos)180cos(m上侧：0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx下侧：,0X0l1mqYqsysxysxysx)1()(0)(0)1()(0)(0)(sxyqsy)(图示构件，试写出其应力边界条件。例6上侧：,qX0l1m0Y0)1()(0)()1()(0)(sysxysxysxqqsxy)(0)(syYlmXmlsxysysxysx)()()()(,0X,sin)90cos(lcosm下侧：NpYpsysxysxysxcos)(sin()(0cos)()sin()(