线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义由mn个数1,2,,;1,2,,ijaimjn排成的m行n列的数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为m行n列矩阵。简称mn矩阵，记作111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa，简记为mnijijmnAAaa，,mnA这个数称为的元素简称为元。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n的矩阵A。记作：An。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：A＝B零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：En(不引起混淆时，也可表示为E)（课本P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个mn矩阵ijijAaBb和，那么矩阵A与B的和记作AB，规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律1ABBA；2ABCABC1112121222113,()nnijijmnmnmmmnaaaaaaAaAaaaa设矩阵记，A称为矩阵A的负矩阵40,AAABAB。（课本P33）数与矩阵相乘,AAA数与矩阵的乘积记作或规定为111212122211,nnmmmnaaaaaaAAAAAaaa数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律（设AB、为mn矩阵，,为数）1AA；2AAA；3ABAB。（课本P33）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设(b)ijB是一个ms矩阵，(b)ijB是一个sn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵(c)ijC，其中12121122jjiiisijijissjsjbbaaaabababb1sikkjkab，1,2,;1,2,,imjn，并把此乘积记作CAB注意1。A与B能相乘的条件是：A的列数＝B的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。矩阵乘法的运算规律1ABCABC；2ABABAB3ABCABAC，BCABACA4mnnnmmmnmnAEEAA5若A是n阶方阵，则称Ak为A的k次幂，即kkAAAA个，并且mkmkAAA，kmmkAA,mk为正整数。规定：A0＝E注意矩阵不满足交换律，即ABBA，kkkABAB（但也有例外）（课本P36）纯量阵矩阵0E0称为纯量阵，作用是将图形放大倍。且有()(E)EAAA，A为n阶方阵时，有()(E)nnnnnEAAA，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36）转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A，如122458A，142528TA。转置矩阵的运算性质1TTAA；2TTTABAB；3TTAA；4TTTABBA。（课本P39）方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作A或detA（记住这个符号）注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质1TAA；2nAA；(3)ABABBABA（课本P40）对称阵设A为n阶方阵，如果满足A=AT，即,1,2,,ijjiaaijn那么A称为对称阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果TAA则称矩阵A为反对称的。即反对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij＝－aji，i，j=1，2，…n伴随矩阵行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵。性质AAAAAE（易忘知识点）（课本P？）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节逆矩阵定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B,使得AB＝BA＝E则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。1AA的逆矩阵记作，1AB即。说明1A，B互为逆阵，A=B-12只对方阵定义逆阵。3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。定理1矩阵A可逆的充分必要条件是0A，并且当A可逆时，有1*1AAA（重要）（证明见课本P？）奇异矩阵与非奇异矩阵当0A时，A称为奇异矩阵，当0A时，A称为非奇异矩阵。即0AAA可逆为非奇异矩阵。推论若(A=E)ABE或B，则1BA（证明见课本P？）求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||AAAAAA先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。更好的求逆矩阵的方法--chapter3初等变换法（A,E)逆矩阵的运算性质1111,,AAAA若可逆则亦可逆且1112,0,,AAAA若可逆数则可逆且。1113,,,ABABABBA若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。（以上证明见课本P43）114,,TTTAAAA若可逆则亦可逆且。115,AAA若可逆则有。总结逆矩阵的计算方法1待定系数法；12AAA利用公式；3初等变换法下一章介绍第四节矩阵分块法矩阵分块将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。分块矩阵的运算规则加法A与B同型，且A、B的分块方法相同，则A与B的和定义为对应子块相加。数乘()ijAA。转置112111121312222122231323,TTTTTTTAAAAAAAAAAAAAA设则。(先外转再内转)乘法首先AB有意义，其次A的列的分法与B的行的分法相同。,,AmlBln设为矩阵为矩阵分块成1212,,(),()tnBBAAAABB即列向量组即行向量组，1212,,,,,,,iiitjjtjAAABBB其中的列数分别等于的行数那么1111rssrCCABCC，11,,;1,,tijikkjkCABisjr其中。结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵（准对角矩阵）设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即12sAAAA，1,2,iAis其中都是方阵，则有：121)sAAAA。122)0,,isAAAAAA若每个则可逆且有，1111121,2,,,,,isAAisAdiagAAA可逆可逆且（diag（A）表示对角阵A）（课本P？）有用的结论TAAO,AOP?设则（证明见课本）线性方程组的分块表示线性方程组1111221121122222m11m22m..............................................nnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，111112112221222212......A(),,,...nnijnmmmmnmxbaaabxbaaabaxbBxbaaab记，其中A为系数矩阵，x称为未知数向量，b称为常数向量，B称为增广矩阵。增广矩阵可以分块表示为：12(,)(,,...,,)nBAbBaaab或