线性代数笔记全

1概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nTArAnAAAxxAxAAxAAAEοοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0只有零解，0总有唯一解是正定矩阵R12,siAppppnBABEABE⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩是初等阵存在阶矩阵使得或○注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.()ArAnAAAAxAολ=⇔==不可逆0的列（行）向量线性相关0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注()()abraEbAnaEbAaEbAxοολ+⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪⎯⎯⎯→⎬⎪⎪⎭:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()√关于12,,,neee⋅⋅⋅：①称为nℝ的标准基，nℝ中的自然基，单位坐标向量87p教材；②12,,,neee⋅⋅⋅线性无关；③12,,,1neee⋅⋅⋅=；④tr=En；⑤任意一个n维向量都可以用12,,,neee⋅⋅⋅线性表示.2行列式的定义1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaaτ==−∑1LLLLLMMML√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO∗==∗∗=−1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：n(1)211212112111()nnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaO−−−∗==−KNN1（即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：()1222212111112nijnjinnnnnxxxxxxxxxxx≤≤−−−=−∏111LLLMMML矩阵的定义由mn×个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML称为mn×矩阵.记作：()ijmnAa×=或mnA×伴随矩阵()1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML，ijA为A中各个元素的代数余子式.3√逆矩阵的求法:①1AAA∗−=○注：1abdbcdcaadbc−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠1主换位副变号LL②1()()AEEA−⎯⎯⎯⎯→初等行变换MM③1231111213aaaaaa−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠3211111213aaaaaa−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠√方阵的幂的性质：mnmnAAA+=()()mnmnAA=√设,,mnnsAB××A的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，则msABC×=⇔()()1112121222121212,,,,,,ssnsnnnsbbbbbbcccbbbααα⎛⎞⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLLMMML⇔iiAcβ=，(,,)is=1,2L⇔iβ为iAxc=的解⇔()()()121212,,,,,,,,,sssAAAAcccββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L⇔12,,,scccL可由12,,,nααα⋅⋅⋅线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，TA为系数矩阵.即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaacβββ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠LLMMMMML⇔11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaacβββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩LLLLLL√用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠分块矩阵的逆矩阵：111AABB−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠111ABBA−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠41111ACAACBOBOB−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠1111AOAOCBBCAB−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠分块对角阵相乘：11112222,ABABAB⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⇒11112222ABABAB⎛⎞=⎜⎟⎝⎠,1122nnnAAA⎛⎞=⎜⎟⎝⎠分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠*(1)(1)mnmnAABBBA∗∗⎛⎞−⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠√矩阵方程的解法(0A≠)：设法化成AXBXAB==(I)或(II)ABEX⎯⎯⎯⎯→初等行变换(I)的解法：构造()()MMTTTTAXBXX=(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得1零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）4原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）5两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p教材.6向量组12,,,nααα⋅⋅⋅中任一向量iα(1≤i≤)n都是此向量组的线性组合.7向量组12,,,nααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n−1个向量线性表示.向量组12,,,nααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量iα都不能由其余n−1个向量线性表示.8m维列向量组12,,,nααα⋅⋅⋅线性相关()rAn⇔；m维列向量组12,,,nααα⋅⋅⋅线性无关()rAn⇔=.9若12,,,nααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,nαααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,nααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一.10矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵11矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；5矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A；对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A.矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r+1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作()rAr=向量组的秩向量组12,,,nαααL的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)nrαααL矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：AB≅向量组等价12,,,nααα⋅⋅⋅和12,,,nβββ⋅⋅⋅可以相互线性表示.记作：()()1212,,,,,,nnαααβββ⋅⋅⋅≅⋅⋅⋅12矩阵A与B等价⇔PAQB=，,PQ可逆⇔()(),,,rArBABAB=≠为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)nnrrαααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)nnrαααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒矩阵A与B等价.13向量组12,,,sβββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,nααα⋅⋅⋅线性表示⇔AXB=有解⇔12(,,,)=nrααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)nsrαααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)srβββ⋅⋅⋅≤12(,,,)nrααα⋅⋅⋅.14向量组12,,,sβββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,nααα⋅⋅⋅线性表示,且sn，则12,,,sβββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,sβββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,nααα⋅⋅⋅线性表示,则s≤n.15向量组12,,,sβββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,nααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)srβββ⋅⋅⋅12(,,,)nrααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p教材94,例1016任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.17向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.18若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.19设A是mn×矩阵,若()rAm=，A的行向量线性无关；6若()rAn=，A的列向量线性无关,即：12,,,nααα⋅⋅⋅线性无关.√矩阵的秩的性质：①()AOrA≠⇔若≥1()0AOrA=⇔=若0≤()mnrA×≤min(,)mn②()()()TTrArArAA==p教材101,例15③()()rkArAk=≠若0④()(),,()0mnnsrArBnABrABBAx××+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()rAB≤{}min(),()rArB⑥()()()()ArABrBBrABrA⇒=⇒=若可逆若可逆即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()mnAxrABrBrAnABOBOAABACBCο×⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()nsrABrBrBnB×=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrEOEOrArAAOOOO⎛⎞⎛⎞=⇒⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.⑨()rAB±≤()()rArB+{}max(),()rArB≤(,)rAB≤()()rArB+p教材70⑩()()AOOArrArBOBBO⎛⎞⎛⎞==+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()ACrrArBOB⎛⎞≠+⎜⎟⎝⎠7121212,,,0,,,()(),,,AnnAnAxAnAxAxrArAAxAnβαααβαααβββααα⇔=⎯⎯⎯⎯⎯→=⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=⎯⎯⎯⎯⎯→≠⇒=⇔⇒当为方阵时当为方阵时有无穷多解0表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一线LLML127()(),,,()()()1()nAxrArAAxrArArArAοββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⎧⇔≠⎪⇔=⇔⎨⎪⇔+=⎩教材72讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解MLMM○注：AxAxββ⇒=≠⇒=≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解线性方程组的矩阵式Axβ=向量式1122nnxxxαααβ+++=L1112111212222212,,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxbβ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠LLMMMMML12,,2,,jjjmjjnαααα⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠1LM81212(,,,)nnxxxαααβ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LM矩阵转置的性质：()TTAA=()TTTABBA=()TTkAkA=TAA=()TTTABAB±=±11()()TTAA−−=()()TTAA∗∗=矩阵可逆的性质：11()AA−−=111()ABBA−−−=111()kAkA−−−=11AA−−=111()ABAB−−−±≠±11()()kkkAAA−−−==伴随矩阵的性质：2()nAAA−∗∗=()ABBA∗∗∗=1()nkAkA∗−∗=1nAA−∗=***()ABAB±≠±11()()AAAA−∗∗−==()()kkAA∗∗=()()1()10()1nrAnrA