线性代数精华版

第一章1.6.1内容框图1.6.2基本要求（1）理解矩阵的概念，掌握常用的特殊矩阵及性质。（2）熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置运算及其运算规律。（3）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及求逆矩阵的方法。（4）了解分块矩阵及其运算。（5）熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质及其与初等变换的关系，知道矩阵的标准分解。1.6.3内容概要1）矩阵的概念矩阵是一个由mn个元素构成的元素表，常用方括号或圆括号记为A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211......或A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211......本书中的矩阵一般都是指实数矩阵。2）特殊矩阵特殊矩阵包括方阵、对称阵，反对称阵，上三角阵，下三角阵，对角阵，数量阵，单位阵，列矩阵，行矩阵，零矩阵等。他们之间具有如下的从属关系矩阵方阵下三角阵上三角阵对角阵数量阵单位阵3）矩阵的运算（1）加法：设nmijaA，Bnmijb;nmijijbaBA则（2）数乘：设nmijnmijkakAkaA为数，则,；（3）乘法：设nmijaA，Bnmijb，则ABnmijc，其中),2,1;,2,1(22111njmibabababacsjisjijiskkjikij注两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。矩阵的定义矩阵的逆矩阵的分块矩阵的初等变换矩阵的运算（4）转置：设A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211......，则mnnnnmaaaaaaaaa212221212111......称为A的转置阵，记为'AAT或。（5）运算规律：;,AAAAAA+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);BABA)(.(AB)C=A(BC);)()()(BABAAB;A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;nnmnmnmmIAAAITTTTTTTTTTABABAABABAAA;;;kllklklkAAAAA;(k,l为正整数)以上所有运算必须关于加法，乘法可行。注1矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下ABBA,由此得到式子22222222;;2BAABBABABABABABA都未必成立，但上述三个式子在AB=BA的条件下都成立，例如：IAIAIAIAAIA2222;2注2矩阵乘法不满足消去律，即一般情况下，若AB=AC不能得到B=C.由此可知若不AA2能得到A=O,或A=I,若OA2也不能得到A=O，但在A可逆的条件下，由AB=AC必成立B=C思考：当A可逆时，若AB=CA能推出B=C吗？4)可逆矩阵（1）概念：设矩阵A,B满足AB=BA=I，则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵，记为BA1.注1可逆矩阵必为方阵。注2若A可逆，其逆必唯一，故A的逆矩阵记作1A，即有A1A=1AA=I（2）性质：若A可逆，则TA,1A均可逆，且TTAAAA1111,;若A可逆，数0k，则kA可逆，且111)(AkkA;若A,B是同阶可逆阵，则AB可逆,1)(AB=11AB.注若A,B为同阶的可逆矩阵，A+B不一定可逆（3）判别方法①利用定义:若AB=BA=I,则必有A可逆,且BA1;②利用初等矩阵:若A可分解为有限个初等矩阵,则A可逆.(4)求法①利用初等变换1AI~行IA或1AI~IA列注对1AI~IA只能用行初等变换.对1AI~IA只能用列初等变换。②利用分块矩阵③凑法:当条件中只有矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出IAB的形式,从而可得1A=B,这一方法适用于抽象矩阵求逆.5)矩阵的分块（1）概念:对矩阵A用若干条横线和若干条纵线分割成的矩阵称为分块矩阵,其中每个元素是以小矩阵构成的块.（2）特殊分块法及其作用:①将A按列分块n21mnm2m12n22211n1211,,aaaaaaaaaA,其中j是A的第j列(j=1,2,…n)，则jjAe(j=1,2,…n)其中je为单位阵nI的第j列。②将A按行分块TT2T1mA，其中Ti为A的第i行，则TieA=Ti,(i=1,2,…,m)其中ie为单位阵mI的第i列.注由①②可得到ijjTiaAee③将1A列分块n211,,A，则1A的计算也可转化为方程组iieA（i=1,2,…,n）的求解问题。④将A分成块对角阵则112111nAAAA则112111nBBBB其中假设)...,2,1(,niBAii都可逆。6）初等变换与初等矩阵（1）矩阵A的初等变换有如下三类：第一类：将A的第i行（列）与第j行（列）对换，记作)(ijijcr第二类：以非零常数乘A的第i行（列），记作iicr第三类：将A的第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去，记作kckrijij（２）初等矩阵是单位阵I经过一次初等变换后得到的矩阵；kCICICIkRIRIRIijkcicijrijkririjrijiijijiij~,~,~;~,~,~其中kCkRCRCRijijiiijij,,（３）初等变换与初等矩阵之间的关系：初等矩阵左（右）乘A,相当于对A进行一次相应的初等行（列）变换，例如:BACBABARBAijcijrijij~,~注１若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B，则称A与B等价，此时必成立等式BCACRRts......11，其中sRR...1与tCC...1均为初等矩阵。注２对矩阵A进行第二类初等变换时，乘上的数必须为零；对矩阵A进行第三类初等变换krij时，只有原矩阵A中的第j行变化了，为A的第j行加上A的第i行的k倍，其余行不变，如110011222A,则110011200~221BAr，而不是110200222~221BAr。注３初等矩阵都是可逆阵，且成立1;,111iiijijijijRRCCRRkCkCkRkRCCijijijijii111,;1AnAAA2112BBBBn第二章2.6.1内容框图2.6.2基本要求（1）会用对角线法则计算二阶和三阶行列式。（2）了解n阶行列式的定义。（3）知道行列式的性质。（4）掌握计算行列式的方法。（5）掌握克莱姆法则。2.6.3内容提要1）行列式的定义一阶行列式1111Aaa，设n-1阶行列式已经定义，则n阶行列式定义为111212122211111nnnijnijijijijiinnnnaaaaaaAaMaAaaa其中ijM为ija的余子式，1ijijijAM为ija的代数余子式。注1一阶行列式55。注2行列式是方阵A对应的一个数，用A记，不同阶行列式可能不同，如102007506314123但不同阶矩阵必不相同。2）特殊行列式的值(1)上三角行列式：行列式的定义行列式的性质行列式的计算行列式的应用111212221122nnnnnnaaaaaaaaa(2)下三角行列式：112122112212nnnnnnaaaaaaaaa(3)对角行列式：11221122nnnnaaaaaa(4)11,212)1(11,221111)1(nnnnnnnnaaaaaaaa(5)112,12212,111,11...nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa(6)112,1212,1111...nnnnnnnnaaaaaa(7)范德蒙行列式：)(1111112112222121jinijnnnnnnxxxxxxxxxxx其中为连乘积的符号。3）行列式的性质（1）方阵A的行列式与其转置的行列式相同，即TAA注所有队列成立的行列式性质，对行也成立。（2）互换行列式中两列（或行）的位置，行列式变号推论如果行列式的两列（或行）相同，则行列式为零。（3）某数乘行列式，等于用数乘它的某一列（或行）的所有元素，即1212,,...,...,,...,...inin(*)其中12,,...,n为的列向量。注在(*)式的右端,数只能乘某一列(或行),其余列(或行)不变.推论1数乘方阵A的行列式等于n乘A的行列式,即推论2如果行列式的一列(或行)为零,则行列式为零.推论3如果行列式的两列(或行)对应成比例,则行列式为零.(4)A的行列式中某一列(或行)可分成两个向量之和,则A的行列式等于分别由这两个列(或行)向量取代A中这一列(或行)构成行列式之和,即121121121,,...,,...,,...,,...,,...,,...kkknkknkkn注式(**)称为行列式的加法性质.推论将行列式的某一列(或行)的任意*倍加到另一列(或行)上去,行列式不变.(5)对于方阵A的行列式,有jijiAAajkniik01(6)设A,B为n阶方阵,A为A的伴随矩阵,1A为A的逆矩阵,有①1AA②ABAB③1nAA(7)设A为n阶方阵,B为m阶方阵,有ACAOAOABOBDBOB注1数乘A的结果为用数乘A的每一个元素,而A的结果为用数乘A的某一行或某一列的行列式值,如2412282412,应为241222162412注2A+B为同维矩阵对应元素相加而成,但式子ABAB一般不成立,例如44332144332144332211bababbbabaaababababa而不是4321432144332211bbbbaaaababababanAA注3性质4的推论是计算行列式的有效工具,即若~ijrkAB则AB,其中B中的第i行仍为A中的第i行,B中的第j行为A中的第j行加上A中的第i行的k倍.如214571113461346574574r,而不是457111574几次运算一起做时时应注意次序,如1201747454)1()1(1221rr而不是012012；1941207454)1()1(2112rr4)行列式的计算(1)利用行列式的定义计算.(2)利用行列式的性质直接计算.(3)利用行列式的性质化为上(下)三角行列式计算.(4)利用递推法计算.(5)利用范德蒙行列式计算.注计算行列式一般是利用行列式的性质,化原行列式为特殊行列式计算,或由递推公式计算.5)行列式的应用(1)n阶方阵A为可逆阵的充分必要条件是0A,此时,有逆阵公式1AAA(***)其中TijAA为A的伴随阵,1ijijijAM为ija的代数余子式.注1(***)式由公式AAAAAI导出,其具有一定的理论价值.注21AAA(2)克莱姆法则对于线性代数方程组Ax=b当0A时,方程组有唯一解(1,2,...,