2020年中考数学压轴题(一)及解答

2020年中考数学压轴题（一）及解答1、（2020年北京市）24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=41mx245mxm23m2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。(1)求点B的坐标；(2)点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。【解答】24.解：(1)∵拋物线y=41mx245mxm23m2经过原点，∴m23m2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m1，∴m=2，∴拋物线的解析式为y=41x225x，∵点B(2，n)在拋物线y=41x225x上，∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。(2)设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为(a，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为(3a，2a)，由C点在拋物线上，得2a=41(3a)2253a，即49a2211a=0，解得a1=922，a2=0(舍去)，∴OP=922。依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2xb，由点A(10，0)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y=21x5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，∴t4t2t=10，∴t=710。第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=102t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t2t2t=10，∴t=2。xyO11OABCDEPyx图1第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t2t=10，∴t=310。综上，符合题意的t值分别为710，2，310。2、（2020年北京市）25.问题：已知△ABC中，BAC=2ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。(1)当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为；可得到DBC与ABC度数的比值为；(2)当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。【解答】25.解：(1)相等；15；1：3。(2)猜想：DBC与ABC度数的比值与(1)中结论相同。证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作BK//AC交CK于点K，连结DK。∵BAC90，∴四边形ABKC是等腰梯形，∴CK=AB，∵DC=DA，∴DCA=DAC，∵KCA=BAC，∴KCD=3，∴△KCD△BAD，∴2=4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ACB=6，∵KCA=2ACB，∴5=ACB，∴5=6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴KBD=60，∵ACB=6=601，∴BAC=2ACB=12021，∵1(601)(12021)2=180，∴2=21，∴DBC与ABC度数的比值为1：3。3、（2020年安徽省芜湖市）23．（本小题满分12分）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB⌒上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．（1）求证：PM＝PN；（2）若BD＝4，PA＝32AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．ACBExOABCyPMQNFD图2xyOAM(C)B(E)DPQFN图3图4yxBOQ(P)NCDMEFDACB图1BACDK123456图2【解答】解：4、（2020年安徽省芜湖市）24．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－433，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．【解答】5、（2020年安徽省）22.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（201x且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入＝日销售额—日捕捞成本）试说明⑵中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？【解答】6、（2020年安徽省）23.如图，已知△ABC∽△111CBA，相似比为k（1k），且△ABC的三边长分别为a、b、c（cba），△111CBA的三边长分别为1a、1b、1c。⑴若1ac，求证：kca；⑵若1ac，试给出符合条件的一对△ABC和△111CBA，使得a、b、c和1a、1b、1c进都是正整数，并加以说明；⑶若1ab，1bc，是否存在△ABC和△111CBA使得2k？请说明理由。【解答】7、（2020年福建省德化县）25、（12分）在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0α120°),得△A1BC1，交AC于点E，AC分别交A1C1、BC于D、F两点．（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图②，当=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长．【解答】25、（1）1EAFC；提示证明1ABECBF……………3分（2）①菱形（证明略）………………………………………7分（3）过点E作EG⊥AB，则AG=BG=1在RtAEG中，123coscos303AGAEA由（2）知AD=AB=2∴2233EDADAE……………12分8、（2020年福建省德化县）26、（12分）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度．．．．．从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.①当t=25时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．C1A1FEDCBA图①C1A1FEDCBA图②图2BCOADEMyxPN·图1BCO(A)DEMyx【解答】26、解：（1）xxy42……………3分（2）①点P不在直线ME上…………………7分②依题意可知：P（t,t），N（t，tt42）当30t时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：PNCPCDSSS=ODCD21+BCPN21=2321+24212ttt=332tt=421)23(2t∵抛物线的开口方向：向下，∴当t=23，且3230t时，最大S=421当03或t时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形依题意可得，ABCDSS矩形21=3221=3综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值421．………12分9、（2020年福建省福州市）21.（满分13分）如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H。（1）求证：AHEFADBC;（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；（3）当矩形EFPQ的面颊最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式。【解答】10、（2020年福建省福州市）22.（满分14分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线2yx上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线216yxbxc过点O、A两点。（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线2yx的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。【解答】11、（2020年福建省晋江市）25.（13分）已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，3OC，2BC，取AB的中点M，连结MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO.(1)试直接写出点D的坐标；(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作xPQ轴于点Q，连结OP.①若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似，试求出点P的坐标；②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TBTO的值最大.AOxBCMy【解答】25.（本小题13分）解：(1)依题意得：2,23D；………（3分）(2)①∵3OC，2BC，∴2,3B.∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为bxaxy20a又抛物线经过点2,3B与点2,23D∴22349,239baba解得：32,94ba∴抛物线的解析式为xxy32942.…………………（5分）∵点P在抛物线上，∴设点xxxP3294,2.1)若PQO∽DAO，则AOQODAPQ，22332942xxx，解得：01x(舍去)或16512x，∴点64153,1651P.………………………………………………………………（7分）2)若OQP∽DAO，则AOPQDAOQ，23294232xxx，解得：01