2_极限的概念

第一章函数、极限与连续1.1函数1.4函数的连续性1.2极限概念1.3极限运算1.2.1数列的极限1.2.2函数的极限截丈问题庄子（前369年—前286年，战国）曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”每天取后木棒所剩的长度：,21,4181，,,21n,2112116181413210x从右1.2.1数列的极限1.引例刘徽（魏晋，《九章算术》方田章圆田术）：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术1.引例1.引例观察下列数列的变化趋势．:1nnyn,1,,54,43,32,21nn:)1(nny,)1(,,1,1,1,1n:nyn,,,3,2,1n,21,,81,41,21n:21nny01（来回摆动）（无限增大）例1.引例定义1·22.定义{}nnnxnxAAxn给定一个数列，如果当无限增大时，的取值无限接近于某一个确定的常数，则称是当趋于无穷大时的极限，记为limnnxA注意如果数列有极限，则称数列是收敛的；反之，称数列是发散的.,131211n，，，，1231010010000nxn0.10.010.000110.50.33.0例1,)1(1,544532,230nn，，，，123451011100101nxn1.101.51.250.81.010.9090..0.9900.....0.661例2231111,,2222n，，，021limnn随n增大数列的项也无限增大，不趋于任何定数,无极限.1，－1，1，－1，…，(－1)n+1，…该数列极限不存在，发散1，3，5，，2n－1，例3例4例5例11.2.２函数的极限１.当时，函数的极限x()fx1()()2().xfxxfx已知函数，试通过观察图像，判断当趋于正无穷大时，函数的变化趋势1(),(0),.fxxxxy已知函数试由函数的图像，判断当趋向负无穷大时函数的变化趋势例2１.当时，函数的极限x()fx定义1·3１.当时，函数的极限x()fx()()lim()()().xxfxAAfxxfxAfxAx如果当的正值无限增大时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称常数为函数当时记作：或极限.的定义1·3’-()()-lim()()(-).xxfxAAfxxfxAfxAx如果当的负值无限增大时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称常数为函数当极限.时的记作：或定义1·3’’()()lim()()().xxfxAAfxxfxAfxAx如果当的绝对值无限增大时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称常数为函数极限记作.当时的：或解：limx0x1因为，x→+∞和x→-∞可以写为x→∞作图象1yxlimx0x101limxx所以AAxxxf(x)limf(x)limf(x)lim例3定理1·1１.当时，函数的极限x()fx已知函数y=arctanx,试讨论当x→∞时，y=arctanx是否有极限，为什么？x→+∞时，arctanx→2x→-∞时，arctanx→-2不存在所以因为arctanxlimarctanxlimarctanxlimxxx例4解：解：由图可见，x→+∞时，y→某一固定常数A﹨x→-∞时，y→某一固定常数A﹨不存在因此均不存在和所以sinxlim,sinxlimsinxlimxxx例5解：sin,sinyxxyx已知函数判断当时，是否有极限.观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：［Ａ］（1）（2）（3）lim10xx21limxxxx)31(lim［Ｂ］（4）limcosxx课堂练习2,0()lim().2,0xxfxfxx设，求［C］（5）定义1·4的极限定义0xx２.当时，函数的极限0xx()fx（１）定义中“xx0”表示x从小于x0和大于x0的两个方向趋近于x0；（２）定义中考虑的是xx0时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x0处f(x)的情况.注意２.当时，函数的极限0xx()fx2.x利用图像考察当时下列函数的极限解：cc2xlim)1(222(2)lim24xx例1(1)yc2(2)yx解（１）设f(x)=sinx,作图的值和利用图象考察cosxlimsinxlim0x0x0sinxlim0x例2（２）设f(x)=cosx,作图x0limcosx1=0=8=0=1=63lim(3)6xx[A][B]3x9xlim)6()2(xlim)5(2lim)4(lnxlim)3(x2lim)2(tanxlim)1(23x32xx0x1x22x0x课堂练习定义1·4的左右极限定义0xx２.当时，函数的极限0xx()fx左、右极限与函数极限的关系２.当时，函数的极限0xx()fx224f(x)2xx4(2,4)42x4xlim42x4xlim:22x22x或例如２.当时，函数的极限0xx()fx解：-1-211220x)(limf(x)lim)2(0x0x0xlimf(x)lim0x0x0f(x)limf(x)lim0x0x因为0f(x)lim0x所以讨论函数当时的极限0xx,0xx,f(x)0x和3xx3x3(1)limf(x)limx3例4２.当时，函数的极限0xx()fx解：讨论函数当时的极限是否存在x1,x0f(x)1,x00x1)1(xlimf(x)lim0x0x1)1(limf(x)lim0x0xf(x)limf(x)lim0x0x因为不存在所以f(x)lim0x例5２.当时，函数的极限0xx()fx求下列函数当时的左、右极限，并指出当时极限是否存在0x0x[A]0,0,)(12xxxxxf、xxxf)(2、[B]当x0时的极限为00f(x)lim,0f(x)lim0x0x0x1,0x1,xxf(x)当x0时的极限不存在1f(x)lim,1f(x)lim0x0x课堂练习２.当时，函数的极限0xx()fx小结数列极限与函数极限的概念左右极限定理